36.Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.

Определение: Пределом функции в точке x0 называется такое число A, при котором для любого положительного ε найдется такое положительное δ, что для всех x не равных x0, удовлетворяющих неравенству |x-x0| < δ, выполняется неравенство |f(x)-A| < ε.

Геометрический смысл предела:

Если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки x0, что для всех x неравных x0 из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε-окрестности точки A.

Теорема о единственности предела:

Если предел существует, то он единственный.

Доказательство:

Пойдем от противного. Пусть существует =a и =b,

тогда

Поскольку ε – любое, то возьмем ε = |b-a|/4; и выберем δ = min{d1,d2}

Тогда

и

Отсюда: |b-a|=|b-f(x)+f(x)-a|=|f(x)-b|+|f(x)-a| < |b-a|/4 +|b-a|/4=|b-a|/2

|b-a|<|b-a|/2 , получили противоречие, если b неравно a, следовательно b=a

и – единственный.

Односторонние пределы:

Число A1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке x0, если для любого ε >0 существует число δ = δ(ε) >0 такое, что при x принадлежащему (x0- δ1;x0), выполняется неравенство |f(x)-A|< ε. Предел слева записывают так: =А1

Аналогично определяется предел функции справа:

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.

Если существует =А, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А1=А2.

Справедливо и обратное: если существуют =А1 и =А2 и они равны, то существует предел =А.

Если А1A2 то предел =А не существует.

Бесконечно малые функции (БМФ)

Определение: Функция y=f(x) называется БМФ при x->x0,если =0

По определению предела:

для любого ε >0 существует такое δ > 0,что для любого x при котором истинно неравенство 0<|x-x0|< δ, следует: |f(x)|< ε

Аналогично определяется бмф при x->x0+0 , x->x0-0, x->+-∞

Во всех этих случаях f(x) ->0

Бесконечно малые функции обычно называют бесконечно малыми величинами, и обозначают греческими буквами α,β и т.д.

Основные теоремы:

1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина БМФ.

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть величина бесконечно малая.

3) Так как всякая бмф ограничена, то из Теоремы 2 следует: произведение двух бесконечно малых есть величина бм.

Следствие Т3: Произведение бмф на число есть бесконечно малая.

4)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бмф

5)Если функция α=f(x) – бм. (α не равно 0), то функция 1/a(x) – есть бесконечно большая функция и наоборот: Если f(x) – бесконечно большая, то 1/f(x) – есть бм.

Связь между пределои и бесконечно малой фйнкцией:

Т1) Если функция f(x) имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и бмф α(x), т.е. если =А, то f(x)=A+α(x).

Основные теоремы о пределах:

1) Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Доказательство:

Пусть , . Тогда по теореме о связи предела с бм:

можно записать.

Следовательно, f(x)+ φ(x)= A+B+(α(x)+β(x))

Здесь в правой части бмф, как сумма бмф. Тогда по теореме о связи предела с бмф можно записать , т.е.

В случае разности доказательство аналогичное.

Следствие 1): Функция может иметь только один предел при x->x0.

Док-во: Пусть и . По Т1 имеем:

Отсюда А-B=0, т.е. A=B

3) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов.

Доказательство аналогичное сумме пределов…

4) Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю: