17. Гетероскедастичность случайного возмущения. (25 баллов)

Вторым условием Гаусса-Маркова для классической регрессионной модели является независимость дисперсии возмущения от номера (момента) наблюдений (гомоскедастичность – одинаковый разброс). Нарушение этого условия принято называть гетероскедастичностью (неодинаковый разброс).

При наличии гетероскедастичности количественные характеристики вектора возмущений равны:

Причины:

• Неоднородность исследуемых объектов (например, при анализе зависимости спроса от дохода потребителя выясняется, что чем больше доход, тем больше индивидуальное значение спроса колеблется относительно ожидаемого значения);

• Характер наблюдений (например, данные временного ряда).

Последствия:

• При наличии гетероскедастичности МНК обеспечивает несмещенные оценки параметров, но оценка дисперсии возмущений – смещенная, т.е.

И это приводит к неадекватным оценкам:

• Автоковариационной матрицы оценок параметров

• Границ доверительных интервалов параметров модели и значений зависимой переменно,

Т.е. последствия такие же, как и от автокорреляции.

Проверка на гетероскедастичность (Тест GQ)

Предпосылки теста:

1)пропорциональность дисперсии случайного возмущения величине некоторого регрессора X_j

2)случайное возмущение распределено нормально и не подвержено автокорреляции

Алгоритм теста:

1. Упорядочить выборочные данные по величине регрессора X_tj, t=1,…,n, относительно которого есть подозрение на гетероскедастичность (или по сумме модулей регрессоров)

2. По первым и последним n’ данным выборки оцениваются две частные регресии и векторы остатков e₁ и e₂ соответственно

k+1< n’≈ n/3, k+1 – число параметров модели.

3. По остаткам частных регрессий вычисляются суммы квадратов остатков:

4. вычисляются статистики, имеющие F-распределение:

GQ =Qост1/Qост2, GQ^-1=Qост2/Qост1

5. по таблице распределения с двумя параметрами v₁ = v₂ = n’- k – 1 – число степеней свободы, для уровня значимости α определяется Fкр

6. гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается, если справедливы оба неравенства GQ ≤ Fkp, GQ^-1≤ Fkp, в противном случае делается вывод о гетероскедастичности случайных возмущений.

18. Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели множественной регрессии. (25 баллов)

В результате оценивания эконометрической модели отыскиваются оценки неизвестных параметров. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) ŷx минимальна: (1) Для того чтобы найти минимум функции (1), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Тогда мы получаем следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей, найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими формулами для a и b: Эта формула получена из первого уравнения системы, если все его члены разделить на n: где cov(x,y) — ковариация признаков; σх2— дисперсия признака х Поскольку , получим сле­дующую формулу расчета оценки параметра b Таким образом явный вид решения системы нормальных уравнений: