12. Оценивание параметров модели взвешенным методом наименьших квадратов. (25 баллов)

Оценивание эконометрической модели составляет содержание третьего этапа схемы ее построения. В результате этой процедуры отыскиваются оценки (приближенные значения) неизвестных параметров спецификации модели. Рассмотрим метод наименьших квадратов на примере оценивания эконометрических моделей в виде изолированных уравнений с двумя переменными (моделей парной регрессии). Спецификация линейной эконометрической модели из изолированного уравнения с гомоскедастичными возмущениями имеет вид:

(1)

В частном случае, когда уравнение модели содержит две экономические переменные – эндогенную y_t и предопределенную x_t – модель имеет вид:

(2)

и именуется моделью линейной парной регрессии. Данная спецификация содержит три неизвестных параметра: a₀ , a₁ , σ. (3)

Пусть имеется выборка: (х₁, y₁), (х₂, y₂),… (х_n , y _n) (4)

Тогда в рамках исследуемой модели виличины связаны следующим образом:

y₁ = a₀ + a₁ * x₁ + u₁,

y₂ = a₀ + a₁ * x₂ + u₂,

…………………….. (5)

y_n = a₀ + a₁ * x _n + u _n.

Она называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели, или иначе – схемой Гаусса-Маркова. Вот компактная запись этой схемы: (6)

где (7) - вектор известных значений эндогенной переменной y_t модели;

(8) - вектор неизвестных значений случайных возмущений u_t

(9) - матрица известных значений предопределенной переменной x_t модели, расширенная столбцом единиц; наконец,

а = (a₀ a₁ ) ^Т (10) – вектор неизвестных коэффициентов уравнения модели.

Оценку вектора обозначим: ã=(ã₀ ã₁)^Т (11)

Тот факт, что эта оценка вычисляется по выборочным данным (7) и (9) при помощи некоторой процедуры, отразим: (12)

где Р(· , ·) – символ процедуры. Процедура (12) именуется линейной относительно вектора (7) значений эндогенной переменной y_t, если: (13)

где (14)

матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений (9) предопределенной переменной х_t.

13. Модель Марковица. (25 баллов)

??

14. Определение границ доверительного интервала прогноза зависимой переменной. (25 баллов)

Определение границ доверительного интервала прогноза зависимой переменной

Доверительный интервал для отдельного (индивидуального) значения зависимой переменной строится с учетом рассеяния индивидуальных значений вокруг линии регрессии, т.е. с учетом ошибки регрессии: ,

где

15. Проверка гипотез относительно коэффициентов парной регрессии. (25

???

16. Автокорреляция случайного возмущения. (25 баллов)

В классической регрессионной модели выполнение третьего условия Гаусса-Маркова (Соv(ε_t ε_S) = 0,при t ≠ s) гарантирует некоррелированность значений случайных членов в раз­личные моменты наблюдений и это позволяет получить несмещенные МНК-оценки с минимальной дисперсией. Зависимость значений случайных членов в различные моменты времени на­зывается автокорреляцией (сериальной корреляцией).

Формальной причиной автокорреляции в регрессионных моделях является нарушение третьего условия теоремы Гаусса-Маркова, действительной же причиной может быть: неправильная спецификация переменных (пропуск важной объясняющей переменной); использование ошибочной функциональной зависимости, а иногда и характер наблюдений (например, временные ряды).

Для проверки на автокорреляцию используется ряд крите­риев, из которых наиболее широкое применение получил крите­рий Дарбина-Уотсона:

Критерий DW связан с выборочным коэффициентом корреляции между е_t и е_t-1, соотношением: DW≈2(1-r),

Если автокорреляция отсутствует, то DW ≈ 2, при наличии положительной автокорреляции DW<2, если автокорреляция отрицательна, DW>2. И поскольку коэффициент корреляции принимает значения -1 ≤ r ≤ 1, то 0≤ DW ≤ 4. Полученное для данной регрес­сии значение статистики сравнивается с верхней и нижней гра­ницами ее критического значения d_L ≤ d_крит ≤d_U. Границы d_U и d_L выбира­ются из таблиц по числу наблюдений n, числу регрессоров k и уровню значимости α. При этом возможны следующие случаи:

4. Наличие положительной автокорреляции: DW<d_L.

5. Наличие отрицательной автокорреляции: DW >4-d_L.

6. Автокорреляция отсутствует: d_U ≤ DW≤ 4-d_U.

Зоны неопределенности: d_L<DW< d_U или 4- d_U <DW<4-d_L.