13. Лемма о миноре. Пусть дан определитель d порядка n. Берем целое число k, удовлетворяющее

условию 1 ≤ k ≤ n — 1, и в определителе d выбираем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, т. е. принадлежащие к одной из выбранных строк и к одному из выбранных столбцов, составляют, очевидно, матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка определителя d.

Произведение любого минора М k-го порядка на его алгебраическое

дополнение в определителе d является алгебраической суммой, слагаемые, которой получающиеся от умножения членов минора М на взятые со знаком (-1)^S m члены

дополнительного минора М', будут некоторыми членами определителя d, причем их знаки

в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя. Аij обозначим алгебраическое дополнение элемента аij, т. е. Аij = (-1)^i+j M'.

Утверждение. Определитель d равен сумме произведений всех элементов

произвольной его строки на их алгебраические дополнения. (Аналогичное разложение

определителя можно получить и по любому его столбцу.) d = аi1Аi1 + ai2Ai2 + ... + ainAin.

14. Теорема Лапласса. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк

(или k столбцов), 1 ≤ k ≤ n — 1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка,

содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна

определителю d.

Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать k столбцов из n, то есть биномиальному коэффициенту (n/k) .

Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0 . С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.

Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.

15.Разложение определителя по строке или столбцу. Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пусть A = (aij) — квадратная матрица размера n*n . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам: разложение по i-ой строке:det A=E(от n до j=1)aijAij. Разложение по j-ому столбцу: detA=E(от n до i=1 )aijAij

, где Aij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. Aij также называют алгебраическим дополнением к элементу aij.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2.Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

16. Правило Крамера. Вспомогательным определителем Dj для 1<= j<=n называется пределитель поучаемый из D заменой j-го порядка на столбец свободных членов системы. Справедливы следующие неравенства: biA1j+b2A2j+…+bnAnj=Dj; a1iA1j+a2iA2j+…+anjAnj={ D если i=j,0 в противном случае.

Лемма2.Другими словами эта формула говорит, что сумма произведений элементов столбца определителя алгебраические дополнения элементов другого столбца этого определителя равна нулю , а на свои алгебраические дополнения равна определителю. Аналогично формулируется строчный вариант этой леммы.

Th.Правило Крамера : Если главный опрделитель квадратной СЛАУ отличен от нуля,то эта система имеет единственное решение: x1=D1/D, x=D2/D, . . ., xn=Dn/D.

Метод Крамера требует придлизительно в n раз больше арифметических операций, чем метод Гаусса. Но в приложениях к дифференциальным уравнениям любят пользоваться этой рядовой теоремой линейной алгебры для формулировки единственности решения некоторых систем дифференциальных уравнений.

Следствие 1:Квадратная однородная СЛАУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда , когда главный определитель системы равен нулю.