Внезапное расширение русла.

Значение коэффициентов местных сопротивлений в большинстве случаев получается и опытов, на основании которых выводятся экспериментальными формулы или строятся графики.

Однако для случаев внезапного расширения достаточно найти чисто теоретическим путем.

Внезапное расширение русла и соответствующая ему схема течения жидкости показана на рис 3. Поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии в данном случае. При этом, как показываются наблюдения , происходит непрерывный обмен частицами жидкости между основным потоком и завихренной его частью.

Рассмотрим два сечения горизонтального потока: – в плоскости расширения трубы и – в том месте, где поток, расширения, заполнит все сечения широкой трубы. Поэтому второй пьезометр показывает высоту, на больше, чем первый; но, если потерь напора в данном месте не было, то второй пьезометр показал бы еще большую высоту. Та высота , которую мы здесь как бы недополучаем, и есть местная потеря напора на расширение

Обозначим давление, скорость и площадь сечения потоков сечении соответственно через , а в сечении через .

Прежде чем составлять исходное уравнение, сделаем следующих три допущения:

1. распределение скоростей в сечения и равномерное, т.е. ;

2. касательное напряжение на стенке трубы между сечениями и равно нулю ();

3. давление в сечении действует по всей площади .

Запишем для сечения 1-1 и 2-2 уравнение Бернулли с учетом потери напора на расширение и, принимая , получим

=

Затем применим теорему механики об изменении количества давления к цилиндрическому объему, заключенному между сечением 1-1 и 2-2 и стенкой трубы. Для этого определим импульс внешних сил, действующих на рассматриваемый объем в направлении движения, т.е. сил давления. Учитывая, что площади цилиндра слева и справа одинаковы и равны , а так же считая, что в сечении 1-1 давление равномерно распределено по всей площади , получим секундный импульс сил в виде

.

Соответствующее этому импульсу изменение количества движения определится как разность между секундным количеством давления, выносимым из рассматриваемого объема и вносимым в него; при равномерном распределении скоростей по сечениям эта разность равно

.

Приравнивая одно к другому и заменяя через , получим

Разделим уравнение на , учитывая, что , и преобразуем правую часть уравнения

.

Сгруппировав члены, получим

Сравнение полученного уравнения с ранее записанным уравнение Бернулли показывает полную их аналогию, откуда делаем вывод, что

Потеря напора (удельной энергии) при внезапном расширении русла равна скоростному напору, подсчитанному по разности скоростей. Это положение часто называют теоремой Борда – Карно в честь французских ученых.

Если учесть, что согласно уравнению расхода

То полученный результат можно записать ещё в следующем виде, соответствующем общему способу выражения местных потерь:

.

Следовательно, для случая внезапного расширения русла коэффициент сопротивления

.

Доказанная теорема, как и следовала ожидать, хорошо подтверждается опытом при турбулентном течении и широко используется в расчетах.

В том частном случае, когда площадь весьма велика по сравнению с площадью и, следовательно, скорость можно считать равной нулю, потеря на расширение

,

т.е. в этом случае теряется весь скоростной напор (вся кинетическая энергия, которая обладает жидкость); коэффициент сопротивления в это случае .такому случаю соответствует, например, подвод жидкости по трубке к резервуару достаточно больших размеров.

Рассмотренная потеря напора (энергии) при внезапном расширении русла расходуется, можно считать, исключительно на вихреобразование, связанное с отрывом потока от стенок, т.е. на поддержание непрерывного вращательного движения жидких масс и постепенное их обновление (обмен). Поэтому этот вид потерь энергии, пропорциональных квадрату скорости (расхода), называет потерями на вихреобразование. Эти потери расходуются на работу сил трения, но не непосредственно, как в прямых трубок постоянного сечения, а через вихреобразование.