73. Метод наибольшего прадоподобия

МНП позволяет получить по крайней мере асимптотически несмещенные и эффективные оценки параметров распределения.

В основе ММП лежит понятие функции правдоподобия выборки

Определение. Пусть имеем случайную величину Y, которая имеет функцию плотности вероятностей P_y(t, a₁,a₂,…,a_k) и случайную выборку Y(y₁,y₂,…,y_n )наблюдений за поведением этой величины. Тогда функцией правдоподобия выборки Y(y₁,y₂,…,y_n) называется функция L, зависящая от аргументов а={a₁,a₂,…,a_k}, и от элементов выборки как от параметров и определяется равенством

Метод наибольшего правдоподобия -- метод поиска модели, наилучшим в каком-то смысле образом описывающей обучающую выборку, полученную с некоторым неизвестным распределением.

Функция правдоподобия

Основные свойства функции правдоподобия

1. Правая часть равенства имеет смысл значения закона распределения выборки при случайных значениях параметров t₁=y₁, t₂=y₂,…, t_n=y_n.

Следовательно, функция правдоподобия L также случайная величина при любых значениях аргументов а={a₁,a₂,…,a_k}

2. Все значения функции правдоподобия L ≥0.

Эти свойства являются следствием свойств выборки

Идея метода.

В качестве оценки неизвестного параметра принимается такое, которое обеспечивает максимум функции правдоподобия при всех возможных значениях случайной величины Y

Математически это выражается так:

ã_j= argmax(L(a₁,a₂,…,a_k, y₁,y₂,…,y_n)

Очевидно, что оценка ã_j зависит от случайной выборки, следовательно, ã_j= f(y₁,y₂,…,y_n), где f есть процедура вычисления оценки ã_j по результатам выборки

Алгоритм решения задачи

Предполагается:

1. Вид закона распределения известен;

2. Функция плотности вероятности гладкая во всей области определения

Последовательность решения:

1. Составляется функция правдоподобия

2. Вычисляется логарифм функции правдоподобия

3. Оценки параметров получаются в результате решения системы уравнений вида:

4. Проверяется условие максимума функции правдоподобия

74. Что такое стационарный процесс.

Стационарный случайный процесс, важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t)при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t1) и X (t2) зависит только от продолжительности промежутка времени t2—t1, т. е. распределения пар величин {X (t1), X (t2)} и {X (t1 + s), X (t2 + s)} одинаковы при любых t1, t2 и s и т.д.

75. Эконометрика, её задача и метод.

Эконометрика – наука, изучающая конкретные количественные закономерности и взаимосвязи экономических объектов и процессов с помощью математических методов и моделей.

Задача эконометрики состоит в выявлении связей между количественными характеристиками экономических объектов. Целью выявления связей является построение математических правил прогноза, недоступных для наблюдения количественных характеристик изучаемых объектов по наблюденным или заданным значениям других количественных характеристик этих объектов.

Эконометрика служит инструментом решения прогнозных экономических задач методом математического моделирования.