5.2. Лабораторная работа № 2. Метод Гольдфельда—Квандта проверки гипотезы гомоскедастичности

1. Смоделируйте выборку из 30 наблюдений , по формуле

.

Здесь задаются произвольно, значения выбираются так, чтобы было выполнено условие (например, ). Значения взяты из стандартного нормального распределения:

а значения коэффициентов выбираются так, чтобы они не убывали с увеличением значений объясняющей переменной , например:

2. Проверьте гипотезу о гомоскедастичности наблюдений по методу Гольдфельда—Квандта. Для этого необходимо исключить из рассмотрения центральных наблюдений, например, (при этом должно быть выполнено условие ). В этом случае исключаются наблюдения .

3. Разделите совокупность из оставшихся наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями объясняющей переменной) и по каждой выборке постройте свое уравнение парной регрессии (если , то наблюдения — первая выборка, — вторая выборка). Построение парных регрессий следует производить, используя функцию ЛИНЕЙН для оценки коэффициентов.

4. Вычислите теоретические значения регрессий для каждой выборки.

5. Определите остаточные суммы квадратов:

для первой выборки ,

для второй выборки .

6. Вычислите отношение и сравните с табличным значением . Табличное значение можно определить из таблицы распределения Фишера при степенях свободы , на 5%-ном уровне значимости или воспользоваться функцией FРАСПРОБР. Сделайте вывод о принятии или отклонении гипотезы гомоскедастичности наблюдений.

7. Постройте график остатков.

8. Оформите отчет, в котором должны содержаться исходные данные , смоделированная выборка, две выделенные выборки, результаты расчета парных линейных регрессий по выделенным вы­боркам, остаточные суммы квадратов, значения и , график остатков, выводы о принятии или отклонении гипотезы гомоскеда­стичности наблюдений.

5.3. Лабораторная работа № 3. Множественная линейная регрессия

1. Смоделируйте две парные выборки из 20 наблюдений , каждая из которых моделируется по формуле

.

Здесь задаются произвольно, значения факторов заданы в таблице:

	1	1	1	1	1	2	2	2	2	2	3	4	5	6	4	4	4	2	3	7
	1	2	3	4	5	1	3	4	5	2	3	4	5	6	2	3	5	5	5	8

Значение для первой выборки равно 3, а для второй — 9. Значения взяты из стандартного нормального распределения, например

2. Постройте парные линейные регрессии — зависимости результативного признака от факторов и , взятых по отдельности. В каждом случае постройте поле корреляции, вычислите коэффициенты уравнения линейной регрессии, коэффициент детерминации, коэффициент корреляции, значение -статистики. Для вычислений воспользуйтесь функцией ЛИНЕЙН.

3. Перед построением множественной регрессии необходимо исследовать мультиколлинеарность факторов — случай, когда факторы связаны между собой линейной зависимостью. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежны оценки. Для проверки мультиколлинеарности (в случае двух факторов) необходимо построить матрицу , которая является транспонированной к матрице , где , вычислить определитель . Если этот определитель существенно отличен от 0, то можно найти коэффициенты уравнения множественной регрессии. В этом случае необходимо определить обратную матрицу .

Для нахождения транспонированной матрицы следует построить матрицу , выделить ее и скопировать в буфер обмена, затем перейти на свободное место рабочего листа и выбрать пункт Правка\Специальная вставка, указав Транспонировать. Можно также воспользоваться функцией ТРАНСП, аргументом которой служит исходная матрица. Учитывая, что эта функция является функцией массива, перед тем, как использовать ее, необходимо выделить соответствующий диапазон ячеек, в который будет выведен результат.

Для вычисления определителя матрицы следует воспользоваться функцией МОПРЕД, единственным аргументом которой является матрица, определитель которой вычисляется.

Произведение матриц вычисляется с помощью функции МУМНОЖ, аргументами которой являются адреса ячеек, в которых содержатся перемножаемые матрицы. Перемножаемые матрицы должны удовлетворять условию соответствия размеров: матрица размером может быть умножена справа на матрицу размером , в результате получится матрица размером . В случае множественной регрессии с двумя факторами матрица будет иметь размер , матрица — размер , а их произведение — (в нашем случае ).

Перед использованием функции МУМНОЖ, которая является функцией массива, необходимо выделить область размером (в ней будет выведен результат), вставить функцию МУМНОЖ, указав ее аргументы. После этого в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент результирующей матрицы. Для вывода всей матрицы нажмите сначала F2, а затем — одновременно комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

Далее вычислите обратную матрицу с помощью функции МОБР. Функция МОБР (также функция массива) используется аналогично функции МУМНОЖ: сначала следует выделить область ячеек, в которой будет получена обратная матрица, вставить функцию МОБР, нажать F2 и затем CTRL+SHIFT+ENTER.

4. Вычислите коэффициенты уравнения множественной регрессии в матричном виде по формуле с помощью функции МУМНОЖ. Запишите уравнение регрессии в развернутой форме.

5. Вычислите расчетные значения .

6. Вычислите остатки, т.е. отклонения истинных значений признака от расчетных.

7. Найдите величину средней ошибки аппроксимации и оценку для дисперсии остатков , где — число наблюдений, — число объясняющих переменных.

8. Вычислите множественный коэффициент детерминации , сравните его с коэффициентами детерминации парных линейных регрессий, полученных в п. 2.

9. Вычислите фактическое значение -статистики и проверьте значимость полученного уравнения в целом. Для нахождения табличных значений воспользуйтесь таблицей распределения Фишера при и степенях свободы или функцией FРАСПОБР.

10. Вычислите частные коэффициенты корреляции с помощью функции КОРЕЛЛ. В случае двух факторов и

, .

Сравните их с парными коэффициентами корреляции, полученными в п. 2.

11. Вычислите стандартные ошибки , , коэффициентов регрессии. Оцените значимость коэффициентов регрессии с помощью -критерия Стьюдента.

12. Постройте точечный прогноз для значений переменных, в 3 раза превышающих их средние значения.

13. С помощью пакета Анализ данных (Сервис\Анализ данных\Регрессия) получите результаты множественного регрессионного анализа. Использование этой процедуры аналогично расчету параметров парной линейной регрессии, только в поле параметра Входной интервал X следует указать все столбцы, содержащие значения факторов.

14. По результатам исследования оформите отчет, содержащий результаты по указанным пунктам.