- •1. Парная регрессия
- •1.1. Спецификация модели
- •1.2. Парная линейная регрессия. Оценка параметров. Экономическая интерпретация
- •1.3. Основные предположения регрессионного анализа
- •1.4. Статистические свойства оценок. Проверка статистической значимости в парной линейной регрессии
- •1.5. Доверительные интервалы для оценок параметров. Доверительные интервалы прогноза для парной линейной регрессии
- •1.6. Метод Гольдфельда—Квандта проверки гипотезы гомоскедастичности
- •2. Множественная регрессия
- •2.1. Спецификация модели
- •2.2. Множественная линейная регрессия. Оценка параметров. Экономическая интерпретация
- •3. Системы одновременных уравнений
- •4. Временные ряды
- •4.1. Компоненты временных рядов
- •4.2. Критерии случайности
- •4.3. Оценка тренда и периодической составляющей
- •4.4. Критерий Дарбина—Уотсона
- •4.5. Сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней
- •4.6. Сглаживание временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней
- •4.7. Сглаживание временного ряда с помощью скользящей медианы
- •5. Практические задания
- •5.1. Лабораторная работа № 1. Парная линейная регрессия
- •5.2. Лабораторная работа № 2. Метод Гольдфельда—Квандта проверки гипотезы гомоскедастичности
- •5.3. Лабораторная работа № 3. Множественная линейная регрессия
- •5.4. Лабораторная работа № 4. Макроэкономическая модель Кейнса
- •5.5. Лабораторная работа № 5. Проверка случайности ряда наблюдений
- •5.6. Лабораторная работа № 6. Оценка тренда и периодической составляющей
- •5.7. Лабораторная работа № 7. Сглаживание временного ряда с помощью простой скользящей средней
- •5.8. Лабораторная работа № 8. Критерий Дарбина—Уотсона
- •5.9. Лабораторная работа № 9. Подбор и оценка тренда с помощью встроенных средств Excel
- •5.10. Тест по парной и множественной регрессии
- •6. Рекомендуемая литература
- •8. Приложения. Статистические таблицы
- •8.1. Приложение 1. Стандартное нормальное распределение
- •8.2. Приложение 2. Критические значения -критерия Стьюдента
- •8.3. Приложение 3. Критические значения -критерия Фишера
- •8.4. Приложение 4. Критические значения статистики Дарбина—Уотсона
- •8.5. Приложение 5. Критические значения распределения
- •199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/9
- •199061, С.-Петербург, Средний пр., 41.
4. Временные ряды
4.1. Компоненты временных рядов
Многие экономические процессы имеют определенную продолжительность, поэтому в эконометрическом исследовании часто необходимо учитывать фактор времени. Для этого рассматривают совокупности значений изучаемого показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени: . Эту совокупность (или последовательность) значений часто называют временным рядом.
В практике анализа эконометрических показателей, образующих временные ряды, принято считать, что значения уровней временных рядов складываются из следующих компонент:
-
тренд;
-
сезонная составляющая;
-
циклическая составляющая;
-
случайная составляющая.
Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель называется аддитивной моделью временного ряда:
,
Если же временной ряд представляется в виде произведения компонент, то получаем мультипликативную модель временного ряда:
,
здесь
— уровни (значения) временного ряда,
— тренд (тенденция) временного ряда,
— сезонная компонента,
— циклическая компонента,
— случайная компонента.
Под трендом (тенденцией) понимают изменение, определяющее общее направление развития изучаемого показателя. Это систематическая составляющая долговременного действия. Для описания тренда используют плавно меняющиеся, гладкие функции.
Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными. Причины сезонных колебаний могут быть связаны с природно-климатическими условиями, могут носить социальный характер (например, увеличение закупок в предпраздничные дни, увеличение платежей в конце квартала и т.д.) Для описания сезонной компоненты используют периодические функции.
При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.
Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента. Часто причиной нерегулярных колебаний является действие большого числа побочных причин. Эта компонента рассматривается как случайная.
Примеры данных, образующих временные ряды:
-
Месячная динамика производства электроэнергии.
-
Курсовая стоимость акции какой-либо компании.
-
Динамика курса доллара.
4.2. Критерии случайности
Будем рассматривать последовательность наблюдений (ряд наблюдений) . Важным является вопрос о наличии или отсутствии тренда (тенденции) в изучаемом ряде наблюдений (такой вопрос возникает, например, при изучении динамики курса акций). Подобные вопросы сводятся, в частности, к проверке независимости и стационарности распределения (одинаковой распределенности) наблюдений, образующих ряд. Гипотезу о независимости и стационарности в дальнейшем будем называть гипотезой случайности значений ряда наблюдений, в частности, гипотезой об отсутствии регулярных составляющих (тренда, периодических составляющих) в ряде наблюдений.
Для проверки гипотезы случайности рассмотрим несколько критериев.
I. Критерий серий, основанный на медиане выборки
1) Элементы исходного ряда располагаются в порядке возрастания, т.е. из исходного ряда образуется ранжированный (вариационный) ряд .
2) Определяется медиана ранжированного ряда:
3) Сравнивая значения исходного ряда с медианой, составляем последовательность по формуле
В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.
4) Подсчитывается число серий в последовательности . Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.
5) Определяется — протяженность самой длинной серии.
6) При условии случайности ряда (т.е. в отсутствии тенденции) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий — слишком маленьким. Поэтому, если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, гипотеза о случайности отвергается приблизительно для 5%-ного уровня значимости:
Здесь с помощью квадратных скобок обозначена целая часть числа . Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности принимается.
II. Критерий «восходящих и нисходящих» серий
1) Для исходного ряда образуется последовательность по следующему правилу:
В дальнейшем рассматриваются только плюсы и минусы, нули не участвуют в анализе.
2) Подсчитывается — число серий в последовательности . Под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один отдельно стоящий плюс или минус тоже считается серией.
3) Определяется — протяженность самой длинной серии.
4) В условиях случайности число серий не должно быть слишком маленьким, а протяженность самой длинной серии — слишком большой. Если нарушается хотя бы одно из следующих двух неравенств, то гипотеза случайности отвергается для приблизительно 5%-ного уровня значимости:
где
Если оба неравенства выполнены, то гипотеза случайности принимается.