7.1.1. Донорные примеси
Рассмотрим положение локальных уровней для примесей атомов 5-й группы таблицы Менделеева в полупроводниках 4-й группы.
Пусть в 1 из узлов кристалла Германия
находится кристалл Мышьяка, имеющего
5 электронов в валентной оболочке. 4
валентных электрона участвуют в
образовании ковалентных связей с 4-мя
соседними атомами Германия. Так как
ковалентная связь является насыщенной,
5-й электрон образовать связь не может.
Он слабо взаимодействует с окружающими
его атомами Германия, и из-за этого его
связь с атомами мышьяка уменьшается.
Его поведение подобно поведению электрона
в атоме водорода. При решении этой задачи
необходимо учитывать следующее: так
как электрон движется не только в
кулоновском поле иона мышьяка, но и в
поле решётки германия, то ему необходимо
приписать эффективную массу. Кроме
того, взаимодействие электрона с атомом
остатка мышьяка имеет заряд
,
происходит в твёрдом теле, обладающей
электрической проницаемости ε.
Таким образом, потенциал будет
определяться:
Тогда необходимое решение для уравнения Шредингера для 5-го электрона мышьяка:
В результате решения (4) после подставленных значений и числовых констант, получаем:
где ЕС – энергия дна зоны проводимости
Если n = 1, то получаем основной уровень примеси, который в данном случае называется донорный:
Для конкретного случая германия с
примесью мышьяка, в котором ε
= 16, эффективная масса = 0,25 от обычной
массы, значение
эВ.
Νβ: основной уровень донора находится на 0,1 эВ ниже дна зоны проводимости.
7.1.2. Акцепторные примеси
Пусть 1 из узлов решётки германия (4-я группа атомов) заменён примесью третьей группы (например, бором). 3 валентных электрона бора образуют ковалентные связи с атомом германия, а четвёртая остаётся незавершённой. Эта незавершённая связь есть ничто иное как дырка. Примеси, поставляющие дырки, называются акцепторами. Решение уравнения Шредингера даст:
где
эффективная
масса дырки.
При n = 1 получим:
где
– энергия основного уровня акцепторный
примеси.
Νβ: уровень
акцепторный примеси располагается на
0,01 эВ выше потолка валентной зоны.
7.2. Собственная проводимость полупроводников
Рассмотрим полупроводник, не содержащий
примесей и дефектов. При температуре =
0°К, его электропроводность = 0, так как
в нём нет свободных носителей заряда,
т.е. валентная зона полностью заполнена
электрона. При температуре
возникает вероятность заброса электронов
из валентной зоны в хоны проводимости.
В валентной зоне при этом образуются
дырки. Концентрация электронов n
при этом равна концентрации дырок p.
Одновременно с процессом образования свободных носителей (генерация) идёт процесс их исчезновения (рекомбинация). Часть электронов возвращается из зоны проводимости в валентную зону и заполняет разорванные связи (дырки). При данной температуре за счёт действия этих конкурирующих процессах в полупроводниках устанавливается некоторая равновесная концентрация носителей заряда. Например, при комнатной температуре концентрация свободных электронов и дырок в кремнии составляет примерно 10-10 см-3. Если к полупроводнику приложить электрическое поле ε, то в нём возникает ток, складывающийся из электронной и дырочной составляющей.
Полупроводники, в которых за счёт перехода некоторого количества электронов из валентной зоны в зону проводимости образуется такое же количество дырок, называются собственными.
Их проводимость, состоящую из электронной и дырочной составляющих , называют собственной проводимостью.
Приписав электронам в зоне проводимости и дыркам в валентной зоне эффективные массы, мы можем считать их свободными. Для свободных электронов разработаны теории электропроводности Лоренцом и Друде. Согласно этой теории, плотность тока вычисляется по формуле:
где
– дрейфовая скорость, а
- среднее значение скорости в ускоренном
движении.
где τ – время свободного пробега или время релаксации.
Тогда плотность тока в модели свободных электронов Друду – Лоренца будет:
С другой стороны, по закону Ома плотность тока равна:
Тогда удельная электропроводность:
Для электронов и дырок в кристалле, вводя эффективные массы, можно записать аналогичные выражения. Тогда для удельной σ, связанной с дрейфом электронов:
Введём величину, численно равную скорости дрейфа электронов в электрическом поле единичной напряжённости, называемую подвижностью электронов:
При этом сравнивая (11) с (*), получим:
Аналогичные выражения можно записать и для дырочной составляющей. Результирующая электропроводность собственного проводника определяется суммой электронной и дырочной компонент:
где
– подвижность дырок.
В последнюю формулу входят 2 важнейших параметра полупроводников – концентрация и подвижность носителей.