4.5. Энергия дислокации

Энергия дислокации – энергия, затрачиваемая на искажение решётки при образовании дислокации. Эту энергию рассчитывают как работу, которую нужно затратить против сил связи в решётке, чтобы осуществить разрыв и сдвинуть две атомные плоскости в решётке друг относительно друга, т.е. ввести дислокации:

Где G – модуль сдвига, b – модуль вектора Бюргерса.

Порядок величины U составляет несколько электрон вольт на заданную плоскость. Дислокации с минимальным b обладают наименьшей энергией, они менее подвижны. Дислокации с большими b легко распадаются на дислокации с большими b.

4.6. Источники дислокации

Дислокации возникают в кристаллах в процессе их выращивания. При определённых условиях получают тела с низкой плотностью дислокации (~10²см^-2 и менее). В то же время известно, что при деформации плотность дислокации возрастает и может достигать 10¹⁰см^-2. Для объяснения этого факта необходимо допустить, что внутри кристалла имеются источники дислокаций. Одним из возможных механизмов размножений дислокаций был предложен Франком и Ридом, и был назван источник Франка и Рида (рисунок 1). Линия АВ представляет собой краевую дислокацию с закреплёнными концами (рисунок 2). Франк и Рид обнаружили, что отрезок АВ может действовать как источник неограниченного числа дислокаций. Под действием внешнего напряжения τ дислокация начинает выгибаться в плоскости скольжения и занимает положение 1. Если бы концы отрезка были свободны, то дислокация стала бы двигаться путём скольжения. Постепенное выгибание дислокаций может происходить лишь при непрерывно возрастающем напряжении τ, достигающего максимального значения в момент, когда дислокация принимает форму полуокружности. При этом критическое напряжение:

Критическое напряжение источника Франка-Рида, где l – длинна отрезка АВ.

При τ_кр концентрация становится не стабильной, и дислокация самопроизвольно расширяется, занимая положение 2, 3, 4. В положении 4 части дислокационной петли С и С’ имеют винтовые компоненты противоположного знака, т.е. движутся на встречу друг другу в одной и той же плоскости скольжения, и взаимно уничтожаются. В результате этого происходит разделение дислокации на 2: внешнюю и внутреннюю (положение 5). Внешняя дислокация разрастается до поверхности кристалла, а внутренняя занимает исходное состояние. После этого весь процесс начинается сначала. Число дислокаций, генерируемых источником Франка-Рида, не ограничено.

Лекция № 7 от 11.11.11

К/р вплоть до темы 3 включительно.

Типы сингонии, основные элементы симметрии, условия индексов миллера.

Тема 5: Энергетический спектр кристаллов.

5.1. Описание энергетического состояния кристалла при помощи газа квазичастиц. Примеры квазичастиц.

С точки зрения квантовой теории твёрдого тела энергия колебаний решётки (или энергия упругой волны) являются квантовой величиной. Поэтому вводят понятие о фононах как о некоторых, распространяющихся в решётке квазичастицах, обладающих определёнными энергиями и направлениями движения.

Nβ: Фонон – квант энергии упругой волны в кристалле.

Энергия фононов связана с угловой частотой колебаний:

Волновой вектор определяет так называемый квазиимпульс фонона:

Квазиимпульс есть величина, определённая с точностью до постоянного вектора где – вектор трансляции обратной решётки. Значение отличающееся на такую величину, физически эквивалентно.

Скорость фонона определяется выражением: (скорость фонона)

т.е. связано с угловой частотой колебаний.

Свободному распространению волн в гармоническом приближении соответствует в квантовой теори свободное движение невзаимодействующих друг с другом фононов. Во всех процессах должны соблюдаться законы сохранения и импульса.

Понятие о фононах является частным случаем более общего понятия, играющего основную роль в теории квантовых энергетических спектров всяких макроскопических тел.

Nβ: Всякое слабо возбуждённое состояние макроскопического тела может рассматриваться в квантовой механике как совокупность элементарных возбуждений. Эти элементарные возбуждения ведут себя как некие квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объёме.

Пока число элементарных возбуждений достаточно мало, они не взаимодействуют друг с другом, так что их совокупность можно рассматривать как идеальный газ квазичастицы. Понятие элементарных возбуждений возникает как способ квантово-механического описания коллективного движения атомов тела.

Помимо фононов, существуют и другие важные квазичастицы.

Nβ:

1. Плазмоны – кванты элементарных возбуждений, обусловленные кулоновским взаимодействием между электронами и положительными ионами. Возникают в металлах и полупроводниках.

2. Магноны – кванты элементарных спиновых возбуждений; спиновое возбуждение – нарушение спиновой упорядоченности в кристалле. Возникает в ферромагнетиках, антиферромагнетиках, ферримагнетиках.

3. Экситон – взаимодействие электрона и дырки в кристалле, приводящее к связанному состоянию этих частиц.

4. Поляроны – электроны, взаимодействующие с фононами; или область искажения решётки вместе с находящимся там электроном.

Название	Обозначение	Поле
Электрон
Фотон		Электромагнитная волна
Фонон		Упругая волна
Плазмон		Коллективная электронная волна
Магнон		Волна перемагничивания
Полярон		Электрон + упругая деформация
Экситон		Волна поляризации

5.2. Уравнение Шредингера для твёрдого тела

Для твёрдого тела спрведливо стационарное уравнение Шредингера, которое описывает состоятие всех частиц в этом твёрдом теле:

где ψ – собственная волновая функция, Е – энергия.

Энергия:

Перейдём к нашему отношению:

Вернёмся к твёрдому тел и запишем оператор кинетической энергии твёрдого тела:

где m_i – масса электрона, M_k – масса ядер.

Потенциальная энергия складывается из трёх составляющих:

где r – радиус электронов, R – радиус-вектор ядер, 1-е слагаемое - , 2-е – энергия взаимодействия ядер с ядрами (кулоновское отталкивание ядер), 3-е – энергия взаимодействия электронов с ядрами (кулоновское притяжение электронов и ядер)

Функция ψ, входящее в уравнение Шредингера, зависит от координат всех частиц:

Если на эту функцию наложить ограничение, вытекающее из её физического смысла, а именно конечность, однозначность и непрерывность, то уравнение Шредингера будет иметь решение не при любых значениях энергии Е, а только при некоторых. Эти решения определяют уровни энергии в твёрдом теле или энергетический спектр твёрдого тела.

Из-за большого числа независимых переменных уравнение Шредингера для твёрдого тела не может быть решено в общем виде, поэтому прибегают к ряду упрощений: