Билет № 19 Этапы развития понятий натурального числа и нуля

Числа возникли из потребности счета и измерения и перетерпели длительный путь исторического развития. Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества, устонавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами,т.е на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета.

Пример: О численности группы из двух предметов он мог говорить «столько же, сколько рук у человека. О множестве из пяти предметов «столько же сколько пальцев на одной руке.

Затем через некоторое время стали считать с помощью камней, пальцев. Эти множества представляли зачатки понятия натурального числа.

Еще через некоторое время человек понял, что есть общее между «пятью пальцами и пятью яблоками» так возникло представление о натуральном числе.

В каменном веке по мнению историков начали говорить уже не «одно, два», а говорить»один, два»

Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их и выполнять над ними действия. Запас чисел увеличивался все время. Число развивалось

Возникновение понятия натурального числа было важным моментом в развитии математики. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними стала называть АРИФМЕТИКОЙ

АРИФМЕТИКА – это наука о числе.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: (Вавилон, Китай и т.д.)

Термин натуральное число впервые употребил в 5 веке римский ученый А. Боэций.

Во второй половине 19 века натуральное число оказалось фундаментом всей математической науки. С развитием натурального числа была разработана аксиоматическая теория натурального числа.

Большле влияние на исследование природы натурального числа оказала и созданная в 19 веке теория множеств.

Билет № 20 Аксиоматическое построение вычитание и деление.

Вычитанием натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a-b=c тогда и только тогда, когда b+c=a.

Число a-b называется разностью чисел a и b, число a – уменьшаемым, число b – вычитаемым.

Теорема 1 Разность натурадьных чисел a-b существует тогда и только тогда, когда b<a.

Доказательство: Пусть разность a-b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b+c=a, это значит, что b<a.

Если же b<a, то по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что b+c=a. Тогда по определению разности, с= a-b, т.е. разность a-b существует.

Теорема 2 Если разность натуральных чисел a и b существует, то она единственна.

Теорема 3 Пусть a,b и c – натуральные числа.

1. Если a>c, то (a+b)-c=(a-c)+b

2. Если b>c, то (a+b)-c=a+(b-c)

3. Если a>c и b>c,то можно использовать любую из данных формул.

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 4 Пусть a,b и c – натуральные числа. Если a>b+c, то a-(b+c)=(a-c)-b

или a-(b+c)=(a-c)-b

Для того, чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагшаемое одно за другим.

Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a:b=c тогда и только тогда, когда b*c=a

Число a:b называется частным чисел a и b, число a – делимое, число b – делитель.

Теорема1: Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел a и b, необходимо чтобы b≤а

Теорема2: Если частное натуральных чисел a и b существует, то оно единственно.

Доказательство: Ведь если разделить 6 на 3 то получится 2. И всегда если делить 6 на 3 то будет получаться 2.

Теорема3: Если числа a и b делятся на число с, то и их сумма a+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы a+b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении a на с и b на с, т.е. (a+b):с=a:с+b:с

Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Теорема4: Если натуральные числа a и b делятся на число с и a>b, то разность a-b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении a на с и b на с,т.е. (a-b):с=а:с-b:с

Для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема5: Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение ab делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения ab на число с, равно произведению частного, получаемого при делении a на с, и числа b (a*b):с-(а:с)*b

Для того, чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.