Билет №26 Комбинаторные задачи и их решение

В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Такие задачи называют КОМБИНАТОРНЫМИ.

Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи называют КОМБИНАТОРИКОЙ.

В комбинаторике правило нахождения числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют так: Если объект а можно выбрать m способами, а объект b- к способами (не такими как а), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами

Пример: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

Решение: Яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин четырьмя. В задаче идет речь о выборе «либо яблок, либо апельсин», то его можно осуществить 5+4=9 способами.

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b – к способами, то пару (a,b) можно выбрать m*k способами. (5*4=20) способами.

Правила суммы и произведения – это общие правила решения комбинаторных задач.

Размещения с повторениями из к элементов по m элементов – это кортеж длины m, составленный из m элементов к-элементного множества.

Кортеж длины – это запись любого двузначного числа.

Размещение без повторений из к элементов по m элементов – это картеж длины m, составленный из неповторяющихся элементов множества, в котором к элементов.

Сочетание без повторения к элементов по m элементов – это m-элементное подмножество множества, содержащего к-элементов.

Билет №27 Из истории развития геометрии

Геометрия зародилась в Древнем Египте как набор правил решения практических задач, возникавших в строительстве, при распределении земельных участков, измерении площадей и других величин.

Многие геометрические понятия возникли в результате многократных наблюдений реальных предметов той или иной формы.

Огромное влияние на развитие геометрических представлений оказали астрономические наблюдения. Они способствовали возникновению шара, окружности, угла, угловой меры.

К 17-18 веку до н.э. была установлена теорема Пифагора, найдено выражение для подсчета объема шара.

Практические правила со временем приводились в систему. Потом правила стали превращаться в теоремы, начали их доказывать

К 3 веку до н.э.геометрия становится дедуктивной наукой:дает точное обоснованые правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет сравнивать фигуры.

Геометрия сложилась как наука о пространственных формах и отношений, рассматриваемых отвлеченно от их математического содержания

Греческий ученый ЕВКЛИД вне большой вклад в науку.

После 3 века до н.э. геометрия развивалась медленно – требовались новые идеи и методы. В Индии были открыты десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа.

Новые идеи и методы появились в 17 веке. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа.

Переворот в геометрии произошел в начале 19 века,когда несколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной от евклидовой. Первый кто построил эту геометрию был Н.И. Лобачевский, профессор Казанского университета

Он доказал, что вертикальные углы равны, углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Наибольшую известность в этой области получили работы немецкого математика Д.Гильберта – ему удалось построить аксиоматику евклидовой геометрии, которая широко используется в настоящее время.