2. Косвенное доказательство: метод от противного

Пример: Доказать, что если а+3>10, то а≠7

Предположим, что заключение данного утверждения ложно, тогда истинным будет его отрицание, т.е. предложение а=7. Подставим это значение в неравенство и получим 7+3>10т.е. 10>10 это ложь, значит а≠7

Билет №11 Элементы теории множеств. Понятие множества и элемента множества

В конце 19 века в математической науки возникла необходимость уточнить смысл понятий функция, непрерывность и т.д. В результате в конце 19 века возникла новая область математики – теория множеств, создал ее немецкий математик Георг Кантор. Теория множеств стала фундаментом всей математики.

В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют МНОЖЕСТВАМИ.

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.

В математике рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: A,B,C…Z

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a,b,c…z

Пример1: 5 – это натуральное число. 0,75 не является натуральным числом, оно дробное. Можно сказать, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а число 0,75 не принадлежит.

Пример 2: Скажем, что A- множество однозначных чисел, то число 3 – однозначное, его можно записать так: 3 принадлежит A.

Множества бывают конечными или бесконечными.

Конечные- дни недели, месяцы в году

Бесконечные – множества точек на прямой, множества натуральных чисел.

N- множества натуральных чисел

Z – множество целых чисел

Q – множество рациональных чисел

R – множества действительных чисел.

Билет №12 Элементы теории множеств Пересечение и объединение множеств

В конце 19 века в математической науки возникла необходимость уточнить смысл понятий функция, непрерывность и т.д. В результате в конце 19 века возникла новая область математики – теория множеств, создал ее немецкий математик Георг Кантор. Теория множеств стала фундаментом всей математики.

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащие те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают А^В.

^ - пересечение

V - объединение

Таким образом по определению А^В в том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят ,что их пересечение пусто.

Пример: А={1,2,3,4,5,6}, В={2,4,6}

АʌВ {2,4,6}

Объединение множеств А и В называется множество, содержащие те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают АvB.

Пример: А={2,4,6,8,1} В={1,6,5,4,2}

АvВ {2,4,6,8,1,8,5}