Теоретико-множественный смысл суммы.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Например: если множество А содержит 5 элементов, а множество В-4 элемента и пересечение множеств пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.

Теорема 2: Пусть А и В- конечные множества, не имеющте общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем n (AﮞB)=n(A)+n(B).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет также обосновывать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида.

Пример: Катя нашла 3 гриба, а Маша – 4. Сколько всего грибов нашли девочки? В задаче рассматривается три множества: множество А – грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. 3+4=7

Теоретико-множественный смысл разности:

Теорема 3: Пусть А-конечное множество и В-его собственное подмножество. Тогда множество А\В1тоже конечно.

Доказательство: Так как по условию В-собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить А

Аааа

В

Разность здесь заштрихована. Множества А и А\В

не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A\B)=n(A)-n(B)

Теоретико-множественный смысл произведения.

Теорема4: Если b>1, то произведение чисел а и b равно сумму b слагаемых, каждое из которых равно а.

Если а,b-целые неотрицательные числа, то произведением a*b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1.a*b=a, если b=1

2.a*b=0, если b=0.

Теорема5:Пусть А и И – конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем выполняется равенство n(A*B)=n(A)*n(B)

Билет 23 Системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возникла и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Назвать числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали пальцы рук и ног.

Запись числа в десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления используются 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде: х=аn*10n+an*10n-1+…a1*10+a0, где коэффициент an,an-1…,a1,a0 принимают значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и an≠0

Первый класс(или класс единиц) – три первых разряда в записи числа. Сюда входят: единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды образуют второй класс – класс тысяч. В него входят единицы тыся, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем третий класс – класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого,восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов,десятов миллионов и стоен миллионов.

Алгоритм сложения:

1. Способ записи чисел в десятичной системе счисления

2. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

4. Таблица сложения однозначных чисел.

Правила сложения:

1. Записывают втрое слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков)

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то пишут ее второе число, а первое прибавляют к следующему.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цыфры старших разрядов.