Раздел 2. Динамическая теория идеального газа.

2.1 Давление и среднее энергия молекул газа. Основное уравнение МКТ идеального газа. Изопроцессы.

Рассмотрим моноскоростной пучок молекул, ударяющийся об стенку (скорость молекул перпендикулярна поверхности стенки). Молекулы долетают до стенки площади и абсолютно упруго отскакивают от нее. Найдем давление , оказываемое этим пучком на стенку.

Разность импульсов для каждой молекулы равна:

⇒ стенка получает импульс от одной молекулы. Известно, что . За время будет пройден путь . Таким образом, все молекулы в объеме успеют ударить стенку.

Итак, , где – концентрация. Отсюда

Но в идеальном газе все молекулы движутся хаотично и непрерывно, следовательно, по каждому из 6 возможных направлений единовременно движется молекул.

Тогда:

Тогда . С учетом того, что , получаем:

, где – макропараметр, температура.

Правильность полученного результата можно проверить по закону Менделеева-Клапейрона, который является чисто экспериментальным, и, следовательно, независимым от проделанных выше умозаключений:

, что верно.

Мы получили основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

Таким образом, можно выделить следующие изопроцессы:

1. Изотерма: (разумеется, если также соблюдены следующие условия: )

2. Изобара: (при )

Замечание: можно проверить единицы измерения. Энергия и работа измеряются в джоулях. – итак, что в основном уравнении МКТ в левой части стоит нечто, измеряющееся в джоулях. Очевидно, что это – некоторая энергия, причем зависит она только от макропараметров системы. С другой стороны, – энергия, которая, которая зависит от микропараметров: , то есть энергия – это функция микропараметров. Отсюда ясно видна связь между микро- и макропараметрами.

2.2 Столкновения молекул. Средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса в газах: диффузия, внутренне трение, теплопроводность.

α

Пусть дана термодинамическая система – идеальный газ, в котором содержатся молекул. Пусть – диаметр одной молекулы.

1. Предположим, что введена относительная скорость:

Зафиксируем одну молекулу. Пусть остальные движутся относительно нее. Но поскольку молекул в настоящей системе слишком много, то в реальности исследователь имеет дело лишь со средней скоростью: (0 возникает, поскольку угол лежит от , следовательно, среднее значение , следовательно, среднее значение косинуса равно 0). Тогда - тепловая относительная скорость.

2. Теперь пусть все молекулы, кроме одной, покоятся.

Тогда за одну секунду молекула столкнется со всеми молекулами в объеме :

Таким образом, число столкновений за одну секунду, причем – это сечение столкновений (это понятие ввел академик Семёнов)

Если в качестве примера газовой смеси взять воздух, то для него:

Найдем среднюю длину свободного пробега – то есть длину среднего пути, проходимого молекулой без столкновений.

Отсюда получаем:

– микропараметр. Осталось выяснить, как этот микропараметр связан с макропараметрами, и какими именно. Среднюю длину свободного пробега можно также очевидно выразить через макропараметры: , где – макропараметры.

Рассмотрим зависимость длины свободного пробега от температуры и давления.

• Зафиксируем . Если увеличить (например, увеличить количество частиц, то есть увеличить концентрацию), то , очевидно, уменьшится.

• Теперь нагреваем замкнутый фиксированный объем .

То есть . Чисто теоретически меняться не должно. Но практически это не так. Надо обратить внимание на диаметр молекулы . Он является динамическим.

Эффективный диаметр молекулы – это наименьшее расстояние, на которое могут сблизиться центры молекул. Но при увеличении температуры в системе увеличивается тепловая скорость молекул, следовательно, эффективный диаметр уменьшается, и, следовательно, увеличивается.

Явление переноса в газах. Диффузия.

Диффузия – это явление распространения молекул примеси в газовой среде (в общем случае это может быть и жидкость, и твердые тела) от точки ввода.

При этом для воздуха верно: . Исследуем распространение молекул примеси вдоль одной оси (затем продолжим для всех направлений)

При этом первое выражение используется для подсчета числа молекул, движущихся в положительном направление, второе – в отрицательном. Таким образом, можно подсчитать число молекул, проходящее через площадку в единицу времени:

Отсюда получаем следующую формулу: , где – это коэффициент диффузии, а – это так называемый градиент концентрации. Поскольку (это следует из того, что ), то из очевидной связи микропараметров и от макропараметров: и следует зависимость коэффициента диффузии от макропараметров (от температуры и давления): при увеличении температуры коэффициент диффузии увеличивается. С интуитивной точки зрения это понятно: запах распространяется быстрее при более высокой температуре. Аналогично – при уменьшении давления.

Внутреннее трение газа (вязкость)

Проведем следующий эксперимент: возьмем два цилиндра различного диаметра, поместим один внутрь другого, внешний цилиндр начнем вращать с некоторой скоростью , внутренний цилиндр покоится. Однако, через некоторое время внутренний цилиндр также придет в движение и начнет вращаться, несмотря на то, что видимого приложения силы к нему нет. Отсюда вывод, что на внутренний цилиндр каким-то образом влияет среда между двумя цилиндрами, а именно – воздух.

У каждого слоя молекул в этой воздушной прослойке имеется своя скорость: у слоя, вплотную примыкающего к внешнему цилиндру, будет скорость , у слоя, примыкающего к внутреннему цилиндру - .

Пусть имеется два соседних слоя молекул, у первого слоя скорость , а у второго - . Молекулы некоторым образом перемещаются между слоями, обозначим направление от второго слоя к первому как положительное, обратно – отрицательное. Поскольку мы рассматриваем идеальный газ, то имеют место только силы соударения молекул, никаким иным способом они не взаимодействуют. По второму закону Ньютона:

Таким образом, у потоков, несмотря на одинаковое количество переходящих друг в друга частиц, разное количество направленного движения: и . Тогда можно найти изменение импульса за некоторое время:

Таким образом, единственный способ в данной ситуации привести в движение более медленные слои воздуха – это передать им некоторый импульс. Покажем, что изменение импульса действительно имеет место быть.

где – сила внутреннего трения.

Поскольку , получаем: , где – плотность. Или:

где – коэффициент внутреннего трения, – градиент скорости направленного движения слоев.

Таким образом, сила внутреннего трения прямо пропорциональна градиенту скорости направленного движения слоев, или, иными словами, сила внутреннего трения прямо пропорциональна переносимому импульсу направленного движения из слоя в слой.

Параметр определяет физические свойства газа и называется вязкостью.

Очевидно, что

Теплопроводность

Из закона Менделеева-Клапейрона путем нахождения дифференциала от обеих частей равенства следует: , где – некоторая работа, а – некоторое количество тепла (та самая часть энергии хаотического движения, которой могут обмениваться атомы и молекулы и, следовательно, целые системы).

Существует три основных классических способа передачи тепла от тела к телу:

• Теплопроводность (при непосредственном контакте)

• Конвекция (перемешивание слоев жидкости или газа)

• Излучение

При теплопроводности перенос энергии осуществляется непосредственно от частиц с большей энергией к частицам с меньшей.

Таким образом:

или , где – коэффициент теплопроводности.