Основная теорема зацепления

Рассмотрим эвольвентное зацепление (рис. 3.3). NN – общая нормаль двух эвольвент и для той и другой является производящей прямой, таким образом, во все фазы зацепления точка контакта лежит на прямой NN, поэтому линия NN называется линией зацепления.

Угол между линией зацепления и нормалью к линии, соединяющей центры колёс, называется углом зацепления _W.

Точка “W” пересечения линии зацепления и линии, соединяющей центры колёс, называется полюсом зацепления. Видно, что во все фазы зацепления полюс остаётся на месте. Участок линии зацепления Р₁Р₂ , заключённый между окружностями головок зубьев, называется активным участком линии зацепления.

Проведём векторы скоростей точек М (М₁; М₂) зацепления V₁ и V₂ (они проводятся перпендикулярно своим радиусам - векторам в точке М). Из схемы разложения в прямоугольной системе координат скоростей V₁ и V₂ видно, что нормальная работа зацепления возможна только при V_n1 = V_n2 :

; .

Откуда или ,

т. е. первое условие выполнено.

Последнее равенство называется основной теоремой зацепления. Эта теорема может быть сформулирована так: нормаль в точке соприкосновения элементов высшей пары качения и скольжения делит линию центров на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Важно отметить, что в точке W нет взаимного скольжения зубьев, т. е.

.

Это означает, что в процессе работы зацепления окружности с диаметрами d_W1 и d_W2 обкатываются без скольжения. Эти окружности называются начальными.

Из подобия и следует, что . Отсюда следует важное соотношение .

Усилие в зацеплении направлено по общей нормали, то есть по линии зацепления, и, значит, постоянно по направлению (второе условие).

Элементы геометрии эвольвентного зацепления

Рассмотрим следующую модель. Имеем весьма твёрдую зубчатую рейку и заготовку зубчатого колеса из абсолютно неупругого материала (рис. 3.4). Отметим на рейке плоскость, называемую делительной, на которой толщина зуба равна ширине впадины. На заготовке отметим цилиндр d, а на рейке – касательную к нему плоскость (начальную плоскость), параллельную делительной плоскости.

Сообщим заготовке и рейке такое движение, при котором цилиндр d катится без скольжения по начальной плоскости рейки. В результате пластического деформирования на заготовке образуются зубья, причём при плоских боковых сторонах зубьев изделия имеют эвольвентный профиль.

Ц

Рис. 3.4

илиндр d, являющийся начальным цилиндром в движении рейки относительно зубчатого колеса, называется делительным цилиндром, а окружность d – делительной окружностью.

Элементы зубчатых колёс стандартизованы. В качестве основного параметра принят модуль зубьев m – величина, пропорциональная шагу P_t по делительному цилиндру, т. е.

. (3.1)

В России модули стандартизированы в диапазоне от 0,05 до 100 мм.

Окружной делительный шаг P_t – это расстояние между одноимёнными профилями соседних зубьев, измеренное по дуге делительной окружности зубчатого колеса. Очевидно , где z– число зубьев, откуда . Подставляя последнее выражение в уравнение (3.1), получим

.

Из рис. 3.3 видно, что радиусы кривизны профилей в полюсе

ρ₁= DW и ρ₂= СW, тогда из и следует, что