Задание д8
Полагая S = S1 = const, для обобщенной координаты φ, получить дифференциальное уравнение движения механической системы. Дополнительно учесть приложенный к стержню АВ крутящий момент Мкр = 100 Нм, который направлен так, что он способствует увеличению угла . Применить уравнение Лагранжа 11 рода. Значение величины S1 взять из таблицы К1. Силами трения пренебречь.
Решение
Для рассматриваемой механической системы с одной степенью свободы при использовании обобщенной координаты уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом
−
,
где Т – кинетическая энергия механической системы, Qφ – обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате . Кинетическая энергия системы вычисляется как сумма кинетических энергий всех входящих в систему тел: стержня АВ и материальной точки М
Т = ТАВ + ТМ.
Выражение кинетической энергии рассматриваемой системы уже составлено ранее в задании Д5, оно имеет вид
Т
=
+ +
.
Вынося
за скобки, получаем
Т
=
[
+
+
+
].
Выполним с кинетической энергией Т действия, указанные в уравнении Лагранжа второго рода.
=
[
+
+
+
],
=
[
+
+
+
]
+ +
,
=
=
.
Обобщенная сила находятся по формуле
=
,
где
- обобщенная координата,
-
сумма возможных работ действующих на
точки системы активных сил и реакций
связей. Обозначим на рисунке активные
силы, а так как связи, наложенные на
точки системы, являются идеальными, то
реакции связей не показываем.
Для вычисления
обобщенной силы
соответствующей координате ,
зададим системе возможное перемещение
.
Найдем сумму элементарных работ действующих на систему сил на этом возможном перемещении
=
.
Возможные перемещения
и
были найдены ранее в задании Д6
=
=
,
=
=
.
Возможное угловое
перемещение
стержня
АВ равно половине
=
.
Подставив выражения возможных перемещений в сумму возможных работ сил, имеем
=
,
откуда, после
сокращения на
,
получим выражение обобщенной силы,
соответствующей координате
=
.
Подставляя найденные выражения в уравнения Лагранжа второго рода, после преобразований и сокращений получаем дифференциальное уравнение движения системы
[
+
+
+
]
+
=
.
После подстановки заданных числовых значений параметров, позволяет записать окончательный вид дифференциального уравнения механической системы
+
=
и получить выражение углового ускорения стержня
(
-
)
/
.