Пример выполнения курсовой работы.

Кинематика.

Механизм состоит из кривошипа ОА длиной R = 40 см и шатуна АВ в виде тонкого однородного стержня длинной ℓ = 140 см и массой m₁=15 кг. Шатун скользит без трения вдоль направляющей, шарнирно закрепленной в точке D на расстоянии ОD = ОА = R. На шатуне находится материальная точка М массой m₂ = 5 кг. Положение кривошипа задается углом φ, положение мат. точки – расстоянием АМ = S. В начальный момент времени механизм находился в покое при угле φ = 0. При расчетах массой кривошипа ОА пренебречь.

Задание к1

Считая, что угол  изменяется по закону  = (t) = , а расстояние S остается постоянным S = S₁ = 30 см:

1. составить уравнения движения точки М в декартовой системе координат x0y;

2. изобразить на рисунке траекторию движения точки М в окрестности положения, соответствующего моменту времени t = t₁ сек (t₁ = сек);

3. для момента времени t = t₁ определить и показать положение точки М на траектории, вычислить скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории точки;

4. выполнить построения векторов скорости и ускорения точки М для t = t₁ на чертеже.

Решение

1. Для составления уравнений движения точки М нужно выразить координаты и через угол φ, так как угол φ является функцией времени t.

= – ОА + АМ.

Угол ψ найдем из равнобедренного треугольника ОАD

ψ = [180⁰ – (180⁰ – φ)] : 2 = , тогда

= – ОА + АМ = – R + S.

Для координаты получим

= – ОА + АМ = – R + S.

Окончательно уравнения движения точки М в декартовой системе координат, после подстановки в них значения функции , приобретают вид

= – R + S,

= – R + S.

2. Для построения траектории движения точки М можно применить два подхода:

- исключив из уравнений движения точки параметр t, найти уравнение траектории и, задавая числовые значения для одной координаты, находить значения другой;

- определять координаты движущейся точки придавая параметру t значения немного меньшие и большие заданного момента времени t₁ (например, 0,5t₁, 0,8t₁, 0,9t₁, t₁, 1,1t₁, 1,2t₁ и т.д.).

Исключение времени из полученных уравнений движения точки для данного случая затруднительно, поэтому применим второй подход: определим координаты движущейся точки в различные моменты времени.

На рисунке в соответствии с расчетными данными изобразим траекторию точки, отметив на рисунке положение точки для заданного момента времени t = с.

3. Для вычисления скорости точки, движение которой задано координатным способом, используем формулу

,

где , проекции вектора скорости на оси координат.

= = R – S.

= – R + S,

Вычислим значения проекций вектора скорости на оси координат в момент времени t = с, а затем и величину скорости точки.

40 – 30 = 37,88 см/с,

– 40 + 30 = – 9,78 см/с.

см/с.

Построим для данного момента времени вектор скорости точки в масштабе на рисунке.

Величина ускорения точки при задании ее движения координатным способом вычисляется по формуле

,

где , - проекции вектора ускорения точки на оси координат.

= R + R – S – S∙,

= R – R –S∙ + S∙.

После подстановки  = , , , получим

R – S,

R – S.

При t = с, имеем

40 – 30 = 26,28 см/с²,

40 – 30 = 60,11 см/с².

= см/с².

По проекциям а_х и а_у построим вектор полного ускорения на рисунке.

Вычислим проекции вектора ускорения на касательную

= см/с²

и на главную нормаль

= 64,81 см/с².

Это позволяет с помощью формулы найти радиус кривизны траектории точки в данный момент времени

23,61 см.

Ниже на рисунке для момента времени t = t₁ показано положение точки М на траектории и выполнены построения векторов скорости и ускорения точки.