Задание д6
Считая, что при значениях S = S1 и , взятых из задания К1 (S1 = 0,3м, φ = 600), система находится в положении равновесия, получить буквенные выражения необходимой для этого величины силы трения Fтр в промежуточной точке касания стержня АВ с направляющей опоры D. Применить принцип возможных перемещений.
Решение
Изобразим систему в заданном положении S = S1 = 0,3 м и = 600, и покажем действующие силы тяжести стержня G1 и материальной точки G2, а также силу трения скольжения Fтр, приложенную к стержню со стороны направляющей опоры в точке D. Реакции идеальных связей в точках О, D, А показывать не будем.
Запишем принцип возможных перемещений для системы с неидеальными связями
.
Зададим системе возможное перемещение δ и вычислим, в соответствии с принципом возможных перемещений, сумму возможных работ обозначенных на рисунке сил
.
Выразим возможные перемещения δh1, δh2 и δSD через δ.
Для определения δSD следует знать, что возможные перемещения точек твердого тела относятся между собой как расстояния от этих точек до мгновенного центра скоростей Р данного тела, т.е , откуда . Отношение расстояний было найдено в задании К2, оно равно . Возможное перемещение точки А находится следующим образом: .
Величину можно найти как полный дифференциал функции , вычисленный при фиксированном времени (). Зависимость найдена в задании Д5
= – R + (АВ/2),
откуда = = .
Величину можно найти как полный дифференциал функции yМ (φ), вычисленный при фиксированном времени (). Зависимость yМ (φ) найдена в задании К1
= – R + ,
тогда = .
Подставив найденные выражения возможных перемещений в уравнение принципа возможных перемещений, получим
.
После сокращения на , найдем величину силы трения, которая сможет обеспечить равновесие системы в заданном положении
тр = .
Задание д7
Подтвердить результаты, полученные в задании Д4, с помощью принципа Даламбера.
Решение
Принцип Даламбера говорит о том, что, «если к действующим на систему внешним силам добавить силы инерции, то получится уравновешенная система сил, для которой можно применять условия равновесия статики».
Запишем принцип Даламбера в проекциях на оси координат х и у
,
.
При решении задания на рисунке нужно показать внешние силы механической системы (они встречались в задании Д4) и силы инерции, действующие на тело АВ и точку М. Разберемся с силами инерции. Для стержня АВ, совершающего плоскопараллельное движение, силы инерции отдельных точек (или частиц) тела в общем случае приводятся к одной силе , приложенной в центре масс С1 стержня, и паре сил с моментом . Силу инерции, действующую на точку М, обозначим .
Силы инерции направлены в сторону противоположную соответствующим ускорениям (). Момент сил инерции должен быть направлен в сторону противоположную угловому ускорению тела, но, так как угловое ускорение стержня равно нулю (смотри задание К2), значит и момент сил инерции равен нулю ( = 0) и на рисунке он не изображается.
Для того, чтобы правильно показать направления сил инерции, определим сначала величину и направление соответствующих ускорений.
Проекции на оси координат вектора ускорения центра масс стержня АВ можно найти из уравнений движения центра масс стержня, которые встречались в задании Д5
= – ОА + АС1 = – R + (АВ/2),
= – ОА + АС1 = – R + (АВ/2).
После вычисления производных, имеем
(),
= ().
Вычислим величины и для момента времени t = c
= () = 0,094 м/с2,
= () = 0,5038 м/с2.
Так как проекции ускорения положительны (совпадают с направлением осей), то проекции силы инерции стержня АВ направлены в сторону, противоположную положительному направлению осей координат.
Найдем проекции на оси координат вектора ускорения точки М, используя для этого рисунок ускорения точки М из задания К1
Проекции ускорения точки М на оси координат имеют вид (из задания К1)
R + R – S – S∙,
R – R –S∙ + S∙.
После подстановки = , , , получим
R – S,
R – S.
При t = с, имеем
0,4 – 0,3 = 0,2628 м/с2,
0,4 – 0,3 = 0,6011 см/с2.
Так как проекции ускорения точки М на оси координат положительны, то проекции силы инерции направлены в сторону, противоположную положительному направлению осей координат.
Изобразим все силы на рисунке.
На систему действует произвольная плоская система сил. Запишем в соответствии с принципом Даламбера условия и составим уравнения равновесия сил, причем, так как нужно определить только две неизвестных величины, то достаточно двух (из трех возможных) уравнений равновесия
,
.
В этих уравнениях обозначим = , =, где и - проекции на оси координат главного вектора внешних сил (искомые величины), которые найдем из уравнений равновесия сил
= ,
= .
Вычислим величины проекций сил инерции на оси координат
= = 15∙0,094 = 1,41 Н,
= = 15∙0,5038 = 7,557 Н.
= = 5∙0,2628 = 1,314 Н,
= = 5∙0,6011 = 3,0055 Н.
Из уравнений равновесия находим
= = 1,41 + 1,314 = 2,724 Н,
= = 7,557 + 3,0055 = 10,5625 Н.
Результаты расчетов совпадают с результатами, полученными в задании Д4.