Задание к3

Точка М движется вдоль стержня АВ по закону АМ = S(t) = 80 (1–cos²) см. Для момента времени t = t₁ определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории абсолютного движения точки М. Функцию изменения угла φ(t) и время t₁ взять из задания К1 ((t) = , t₁= c).

Решение

Точка М совершает сложное движение, которое можно разложить на относительное и переносное. Движение точки М вдоль стержня АВ будем считать относительным (оно происходит по закону S(t) = 80 (1–cos²)), а движение точки М вместе со стержнем АВ по отношению к неподвижной системе координат хОу – переносным.

Определим положение точки М на стержне АВ в данный момент времени, подставив t = c в заданную зависимость S(t).

S(t) = 80 (1–cos²) = 80(1– cos²60⁰) = 80∙ = 60 cм.

Угол  для момента времени t = c определен ранее в задании К2 ( = 60⁰). Изобразим на рисунке механизм и точку М в заданный момент времени (по сравнению с заданиями К1 и К2 точка М может занимать другое положение на стержне АВ).

Вычислим для данного положения точки абсолютную скорость ; для вычислений используем формулу

,

где - вектор относительной скорости точки, - вектор переносной скорости точки.

Относительное движение точки задано естественным способом, поэтому относительную скорость находим по формуле

= 80 = .

Вычислим при t = c

= = 96,68 см/с = 0,9668 м/с.

Переносной скоростью точки М является скорость точки стержня АВ, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Стержень АВ, вместе с которым точка М совершает переносное движение, движется плоскопараллельно, поэтому для вычисления переносной скорости воспользуемся методом, рассмотренном в задании К2, и основанном на знании М.Ц.С. (если координата равна расстоянию S = АМ в задании К1, то величину и направление скорости точки М можно взять из результатов, полученных в заданиях К1 или К2)

Для определения величины скорости точки М используется соотношение

, откуда .

Расстояние МР определяем из прямоугольного треугольника МРD

, где DР = R = 40 см, МD = АD – АМ, АD = 69,28 см. МD = 69,28 – 60 = 9,28 см. = 41,06 см.

Вычислим скорость точки М

= = 28,65 см/с = 0,2865 м/с.

Вектор направлен перпендикулярно прямой, соединяющей точки М и Р.

Вектор является переносной скоростью . Изобразим на рисунке векторы , , а также вектор абсолютной скорости точки М

Величину абсолютной скорости можно найти:

- графически, для этого необходимо произвести на чертеже построения всех составляющих векторов в масштабе, найти их геометрическую сумму, измерить длину, а затем с помощью масштаба определить величину результирующего вектора;

- по теореме косинусов , для чего нужно определить косинус угла между векторами и ; его можно найти из прямоугольного треугольника МРD (

= = 0,974,

= 124,75 см/с = 1,2475 м/с,

- или с помощью формулы

,

где и - проекции вектора абсолютной скорости на оси координат.

Из точки М проведем координатные оси x₁ и y₁ и найдем проекции и .

= = = 124,58 см/с = 1,2458 м/с,

= = - = -6,36 см/с = - 0,0636 м/с.

= 124,74 см/с = 1,2474 м/с.

Для определения абсолютного ускорения точки М воспользуемся формулой

,

где вектор относительного ускорения, вектор переносного ускорения, вектор ускорения Кориолиса.

Вычисляем относительное ускорение

= ,

= = – 155,806 см/с², знак «–» говорит о том, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению вектора относительной скорости .

= 0, так как траекторией относительного движения является прямая линия (прямая АВ), для которой радиус кривизны = . В результате получаем .

Переносным ускорением точки М является ускорение точки стержня АВ, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Стержень АВ, вместе с которым точка М совершает переносное движение, движется плоскопараллельно, поэтому для вычисления переносное ускорение вычислим также, как и переносную скорость с использованием метода, рассмотренного в задании К2 (если координата равно расстоянию S = АМ в задании К1, то величину и направление ускорения точки М можно взять из задания К1 или К2).

.

В задании К2 вычислены:

- величина ускорения полюса А =77,9 см/с² = 0,779 м/с², вектор по направлению совпадает с вектором и направлен от точки А к точке О;

- величина вектора вращательной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А в данном случае равна нулю = 0 (так как ε = 0).

Величина вектора центростремительной составляющей ускорения точки М во вращательном движении тела вокруг полюса А находится по формуле

. Подставляя значения величины расстояния АМ для данного задания (АМ = 60 см), получим = 29,14 см/с² = 0,2914 м/с². Вектор направлен от точки М к полюсу А.

Постоим в масштабе вектора и на чертеже и в соответствии с формулой , найдем вектор

Измерив длину вектора на чертеже, с помощью масштаба получаем величину а_е = 55 см/с² = 0,55 м/с².

Также, как в задании К2, проверим полученный результат с помощью вычислений, используя для этого полученную в этом задании формулу. = = 54,64 см/с² = 0,5464 м/с². Это подтверждает полученный с помощью графо-аналитического метода результат.

Найдя переносное ускорение, вычислим ускорение Кориолиса.

Модуль ускорения Кориолиса находится по формуле а_кор = 2ω_e·V_r·. Все сомножители в этой формуле известны: = 0,697 с^-1, = 96,68 см/с, угол = 90⁰, значит = 1. В результате получаем

а_кор = 2·0,697·96,68·1 = 134,77 см/с² = 1,3477 м/с².

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского, которое гласит, что для определения направления вектора ускорения Кориолиса следует проекцию вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, повернуть на угол 90^о в направлении этого вращения.

Изобразим полученные составляющие вектора абсолютного ускорения точки М на чертеже. Причем переносное ускорение покажем не в виде одного вектора , а изобразим его составляющие и (это определяется удобством вычислений величины вектора ).

Величину абсолютного ускорения можно найти или графически (для чего необходимо произвести на чертеже построения всех составляющих векторов в масштабе, найти их геометрическую сумму, измерить и с помощью масштаба определить величину результирующего вектора), или с помощью формулы

,

где и - проекции вектора абсолютного ускорения на оси координат.

Из точки М проведем координатные оси x₁ и y₁ и найдем проекции вектора абсолютного ускорения точки М на оси декартовой системы координат и .

= = = – 117,48 см/с² =

– 1,1748 м/с²,

= = = 173,72 см/с² = 1,7372 м/с².

Абсолютное ускорение точки М равно

= 209,71 см/с² = 2,0971 м/с².

Для определения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой

, где , при этом = = – 125,53 см/с² = – 1,2553 м/с²,

Тогда = 167,98 см/с² = 1,6798 м/с². В результате радиус кривизны траектории получается равным = = 88,77 см.