4.3. Контрольные вопросы

4.3.1.Какое движение называется вращательным?

4.3.2.Сформулируйте второй закон Ньютона для вращательного движения. Сравните с законом для поступательного движения.

4.3.3.Что такое момент инерции тела правильной формы обруча, цилиндра, шара, стержня?

4.3.4.Чему равен момент инерции системы тел?

4.3.5.Сформулируйте теорему Штейнера.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т. I, "Наука", М., 1977.

2. Физический практикум под редакцией профессора Ивероновой, "Наука", М., 1967.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО КОЛЕСА

ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Цель работы. Ознакомление с характеристиками и законами вращательного движения.

Приборы и материалы:

1. Маховое колесо.

2. Три груза.

3. Штангенциркуль.

4. Рулетка.

5. Секундомер.

5.1. Теоретическое введение

Вращательным называется такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Важнейшими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Угловой скоростью называется величина, равная изменению угла поворота твердого тела за единицу времени, т.е.

(5.1)

Угловое ускорение описывает быстроту изменения угловой скорости:

(5.2)

При вращательном движении угловая скорость и угловое уско­рение для всех частиц твёрдого тела одинаковы. Линейная скорость υ точки вращающегося тела связана с угловой скоростью соотно­шением:

(5.3)

где R - расстояние точки от оси вращения. Из этой формулы видно, что линейные скорости различных точек вращающегося тела различны.

Для описания динамики вращательного движения поня­тий силы и массы недостаточно. Действительно, если при по­ступательном движении опреде­ленная сила вызывает вполне определенные изменения движе­ния тела, то во вращательном движении результат действия силы зависит от того, на ка­ком расстоянии от оси враще­ния она приложена. Произведе­ние величины силы, приложен­ной к данной точке тела, на ее кратчайшее расстояние от оси вращения называется моментом силы.

M = F·r (5.4)

Произведение массы i-ой ма­териальной точки на квадрат расстояния ее до оси вращения называется моментом инерции материальной точки

Рис.1 J_i = m_i·r_i² (5.5)

Момент инерции всего тела равен сумме моментов инерции составляющих его материальных точек

(5.6)

Момент инерции характеризует инертность тела во вращательном движении и, как видно из (5.6), зависит от характера распределения массы относительно оси вращения r_i. По аналогии с поступательным движением, кинетическая энергия вращающегося тела равна:

(5.7)

Пусть твердое тело вращается под действием приложенной к нему силы F. (См. рис.I к лабораторной работе № 6). Рассмотрим достаточно малый промежуток времени t, такой, чтобы угловую скорость можно было считать постоянной. Тогда за время dt тело повернется с угловой скоростью ω на угол dJ = ωdt. При этом точка приложения силы описывает дугу dS = rdJ. Элементарная работа в этом случае равна

dA = FdS = FrdJ = Frωdt (5.8)

Эта работа идет на изменение кинетической энергии вращающегося тела, т.е.

(5.9)

Из равенства формул (5.8) и (5.9) следует

Frωdt = Jωdω (5.10)

Mdt = Jdω или Mdt = d(Jω)

Величина z = Jω называется моментом импульса (или моментом коли­чества движения). Произведение Mdt называется импульсом враща­ющего момента силы. Последнее выражение можно переписать в виде:

Mdt = dz (5.11)

т.е. импульс момента силы равен изменению момента импульса (мо­мента количества движения), вращающегося твердого тела. Это основ­ной закон динамики вращательного движения. Закону можно придать и другую формулировку. Из (5.10) следует, что отсюда

(5.12)

т.е. угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вращающего момента М, прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела Jотносительно оси вращения.

В настоящей работе, в качестве главного колеса, используется велосипедное, которое может вращаться вокруг горизонтальной оси, расположенной на высоте ~ 1,5 м от пола (см. рис. I). На оси колеса укреплен вал со шпилькой, на которую с помощью петли оде­вается шнур. К другому концу шнура привязан груз. Если вращать маховое колесо, то шнур накручивается на вал, в груз поднимается на некоторую высоту. В этом случае система получает некоторый запас потенциальной энергии, равный произведению веса груза на высоту подъема. Если затем опустить груз, то потенциальная энергия П будет превращаться в кинетическую энергию его поступательного движения Т пост, и энергию движения махового колеса Т пр. На основании закона сохранения энергии можно записать:

П = Т_пост – Т_вр (5.1З)

С учетом того, что П = mgh , уравнение (5.13) будет иметь вид

(5.14)

Так как шнур намотан на вал, то скорость поступательного движения шнура и груза равна линейной скорости точек, лежащих на поверхности вала. Для её определения воспользуемся уравнени­ями равноускоренного движенья

υ = at и h = at²/2;

из которых

(5.15)

Используя формулы (5.З) и (5.15) находим выражение для угловой скорости

(5.16)

Подставляем найденные значения υ и ω в (5.14) имеем:

(5.17)

После сокращения на h и элементарных преобразований получим расчетную формулу для определения момента инерции махового колеса:

(5.18)

Так как в работе удобно измерять не радиус, а диаметр D = 2r, формулу (5.18) можно записать в виде:

(5.19)