33. Оценка денежного потока пренумерандо.(авансовый)

Ситуация, когда денежные поступления по годам варьируют, является наибо­лее распространенной. Общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть C1F, CF2, CFn — денежный поток; r — ставка дисконтирования. По­ток, все элементы которого с помощью дисконтирующих множителей приведены к одному моменту времени, а именно — к настоящему моменту времени, называется дисконтированным (иногда используется термин * приведенный*). Требуется найти стоимость данного денежного потока с позиции будущего и с позиции настоящего.------

Некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом эле­ментов потока к началу соответствующих базисных подынтервалов. Для прямой задачи схема наращения приведена

Сравнивая несложно понять, что различие между потоками пост- и пренумерандо заключается лишь в том, что поток пренумерандо сдвинут влево на один интервал. Это приводит к дополнительному однократному начисле­нию процентов, а формула расчета будущей стоимости потока пренумерандо будет иметь вид

FV pre = сумма от к=1 до n CFk ( 1+r) в степени n-k+1 = (1+r)FVpst

Итак, взаимосвязь между стоимостными оценками потоков пост- и пренуме­рандо выражается следующей формулой: FV pre = (1+r)FVpst

Иными словами, схема потока пренумерандо более выгодна для накопления денежных средств, нежели схема постнумерандо.

Для обратной задачи схема дисконтирования, т. е. приведения всех элементов исходного потока в точку 0, может быть представлена рис.

Сравнивая видим, что различие между потоками пост- и пренумерандо заключается лишь в том, что поток пренумерандо сдвинут влево на один интервал. Это приводит к уменьшению делителя на величину (1 + г). Дейст­вительно, элемент CF, уже находится в начале 1-го базисного интервала, т. е. в точ­ке 0, а потому дисконтирование не требуется; элемент CF2 отдален от точки 0 на один интервал, а потому его дисконтирование сводится к делению на (1 + г), и т. д. После приведения всех элементов потока в точку 0 их можно просуммировать.

Таким образом, в общем виде формула для исчисления дисконтированной стоимости потока пренумерандо имеет следующее представление:

PVpre=(1+r) сумма от к=1 до n CFk/ (1+r) в степени k = PVpst (1+r)

Иными словами, как и в случае с будущей стоимостью, дисконтированная стоимость потока пренумерандо превышает дисконтированную стоимость соответ­ствующего потока постнумерандо на величину (1 + г).

34. Оценка денежного потока постнумерандо(обычный)

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т. е. на конец периода я, когда реализуется схема наращения, которую можно представить следующим образом

Представим себе, что множество {CFk}, k = 1, 2, ..., n — это совокупность пе­риодических денежных взносов в банк на депозит. Какая сумма будет в концу данной операции? Предполагается, что инвестор безусловно знаком с понятием временной ценности денег и, кроме того, хотел бы получить некоторое вознаграж­дение за отвлечение своих собственных средств. Простое суммирование элементов потока {CFk} невозможно, поскольку они находятся в разных временных интерва­лах, что обусловливает их несопоставимость из-за временной ценности денег. Эта несопоставимость устраняется с помощью наращения по схеме сложных процен­тов. Поскольку имеем поток постнумерандо, это означает, что финансовая опера­ция заканчивается в конце последнего базисного периода .

Таким образом, общая формула для исчисления будущей стоимости потока постнумерандо имеет следующий вид:FVpst = сумма от к =1 до n CFk (1+r) в степени n-k .

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т. е. на начало периода 1, В этом случае реализуется схема дисконтирования, т. е. все эле­менты ожидаемого денежного потока сводятся к началу финансовой операции — в точку 0. Схема дисконтирования для исходного потока постнумерандо имеет сле­дующий вид). Заметим, что в общем случае равенство элементов потока не предполагается, а логика рассуждений такова.

Пусть имеем исходный денежный поток CF1 CF2, CFn. Представим себе, что это совокупность регулярных доходов по ценной бумаге, которую инвестору предлагают купить. Инвестор хочет понять, сколько он готов заплатить за воз­можность обладания данным потоком. Речь идет о грамотном участнике рынка, который знаком с понятием временной ценности денег и, кроме того, хотел бы по­лучить приемлемое вознаграждение за единовременное отвлечение своих собст­венных средств, неизбежное при покупке ценной бумаги. Очевидно, что напраши­вающееся простое суммирование элементов потока CFk невозможно, поскольку они находятся в разных временных интервалах, что обусловливает их несопоста­вимость (в частности, из-за временной ценности денег). Эта несопоставимость устраняется с помощью дисконтирования по схеме сложных процентов Финансо вая операция подразделяется на n базисных периодов, к концу каждо­го из которых привязан очередной платеж CFk. Расчет дисконтированной стоимости данного потока сводится к приведению каждого его элемента к началу финансовой операции, т. е. в точку 0, т. е. к делению на множи­тель (1 + r) в соответствующей степени.

Таким образом, общая формула для исчисления дисконтированной стоимости потока постнумерандо имеет следующий вид: PVpst = сумма от к=1 до n CFk / (1+r) в степени k/

35. Аннуитеты пренумерандо и постнумерандо. Оценка аннуитетов.

Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестици­онных проектов, а также в анализе аренды.

Оценка срочного аннуитета

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два под­хода к его определению.

Аннуитет – серия равновеликих платежей, стоящих др от др на один равновеликий промежуток времени. Если каждый элемент аннуитета имеет место в конце соответствующего периода, ан­нуитет называется аннуитетом постнумерандо (первый платеж осущ через дин период начитая с настоящего момента); если в начале периода — аннуитетом пренумерандо(авансовый- платеж в начале каждого периода)

Пример аннуитета пренумерандо: накопление денег на банковском счете, когда вклады делаются, например, в начале каждого месяца. Пример аннуитета постну­мерандо: регулярное получение процентов по ценной бумаге (по вкладу) по ито­гам очередного месяца.

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называет­ся срочным; в противном случае аннуитет носит название бессрочного. Для срочного аннуитета: CF1= CF2 = ... = CFn = А.

Как и в случае с нетипизированным денежным потоком, в отношении аннуите­тов имеют место прямая и обратная задача. Специфика аннуитета (равенство де­нежных поступлений) позволяет вывести стандартизованные формулы, сущест­венно упрощающие счетные процедуры.

Будущая стоимость аннуитета постнумерандо (т. е. денежного потока постну­мерандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенных элемен­тов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начинается в конце соответствующего базисного ин­тервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использо­ванием заданной процентной ставки r.

FVpst = A*FM3(r,n) = A* (1+r) в степени (n – 1)/r

где FM3(r,n) мультиплицирующий множите­ль для аннуитета,он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что проводится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM3(r, п) часто используется в финансовых вы­числениях. Его значения зависят лишь от процентной ставки r и срока п действия аннуитета, причем с увеличением каждого из этих параметров величина FM3(г, п) возрастает. FM3(r, п) показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим множитель FM3(r, п) называют также коэффициентом аккумуляции вкладов.

Будущая стоимость аннуитета пренумерандо (т. е. денежного потока пренуме­рандо с равными элементами) представляет собой сумму наращенных элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каж­дый элемент потока начинается в начале соответствующего базисного интервала и (в) наращение осуществляется по схеме сложных процентов с использованием за­данной процентной ставки r.

FVpre= FVpst(1+r)= AFM3(r,n)(l + г).

Дисконтированная стоимость аннуитета постнумерандо (Present Value of Ordinary Annuity) (т. е. денежного потока постнумерандо с равными элементами) представляет собой сумму приведенных к началу финансовой операции элементов потока, исчисляемую в предположении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каж­дый элемент потока начинается в конце соответствующего базисного интервала и (в) дисконтирование осуществляется по схеме сложных процентов с использова­нием заданной процентной ставки r. PVpst=A*(1-(1+r)в степени –n))/r=A*FM4(r,n)

FM4(r,n) дисконтирующий множите- ль для аннуитета,показывает, чему равна, с по- зиции текущего момента (т. е. момента, на который осуществляется дисконтиро- вание), суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (на- пример, один рубль), продолжающихся п равных базисных периодов с заданной процентной ставкой r. Множитель FM4(r, п) часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку его значения в общем виде зависят лишь от r и п, они табулированы.

Дисконтирующий множитель FM4(r, п) полезно интерпретировать как вели­чину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку г, мож­но обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов (выплаты проводятся в конце каждого периода).

Дисконтированная стоимость аннуитета пренумерандо (Present Value of Annuity Due) (т.е. денежного потока пренумерандо с равными элементами) пред­ставляет собой сумму дисконтированных элементов потока, исчисляемую в пред­положении, что: (а) все элементы одинаковы, (б) каждый элемент потока начина­ется в начале соответствующего базисного интервала и (в) дисконтирование осу­ществляется по схеме сложных процентов с использованием заданной процентной ставки r.

PVpre=PV pst*(1+r)

Оценка бессрочного аннуитета

Аннуитет называется бессрочным (Perpetual Annuity), если денежные поступ­ления продолжаются довольно длительное время. В за­падной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 лет и более. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение дисконтированной стоимо­сти аннуитета) имеет решение.

дисконтированная стоимость бессрочного аннуитета по­стнумерандо находится по формуле PVpst=A/r.

дисконтированная стоимость бессрочно­го аннуитета пренумерандо PV pre=A/r(1+r)

Формула показывает, что поток даже с неограниченным числом плате­жей имеет конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это по­нятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят).

Данная формула используется оценщиками для опред рыноч чтоим бизнеса, А – величина дохода от деят предпр, r- годпроцент ставка.