Базовые теории и концепции управления риском.

Классическая портфельная теория Гарри Марковица

Теория выбора портфеля является одним из важнейших методов планирования инвестиционной деятельности и оценки финансовых рисков. Начало развитию современной теории портфельного инвестирования положила теория Г. Марковица или классическая теория портфеля.

Эта теория утверждает, что риск может быть снижен за счет диверсификации в процессе управления портфелем ценных бумаг. Марковиц предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и привел методы построения таких портфелей при определенных условиях.

Исходными показателями классической портфельной теории является:

1. ожидаемая доходность ценных бумаг (математическое ожидание доходности как случайной величины). rож

2. риск – стандартное (или среднеквадратическое отклонение доходности от своего среднего значения). σ

Основная идея теории Марковица заключается в определяющей важности ковариаций доходности активов, входящих в портфель по сравнению с их собственными дисперсиями.

D_i – доля i-й ценной бумаги в портфеле;

rож. = ^NΣ r_i ∙D_i r_i – ожидаемая доходность;

N – количество возможных прогнозов.

D_i – доля i-й ценной бумаги в портфеле;

_j – доля j-й ценной бумаге;

σ² = ^NΣ_i=1∙^NΣ_j=1 D_i∙D_j∙Cov_ij

Cov_ij – коэффициент взаимной ковариации между i-й и j-й ценными бумагами.

Ковариация – представляет собой статистическую характеристику, иллюстрирующую меру сходства или различия двух рассмотренных величин в динамике.

В процессе оценки изучается ковариация уровня инвестиционных доходов по различным сопоставимым видам ценных бумаг.

Плотность ковариации между уровнями доходности по двум ценным бумагам определена на основе k корреляции.

Cov_ij = Cor_ij∙σ_i∙σ_j

Cov_ij = Σ Pij (A_i – Ā_i /σ_i)∙(A_j – Ā_j/σ_j)

Pij – вероятность возникновения возможных вариантов отклонений доходности по каждой ценной бумаге;

A_i – варианты уровня доходности i-й ценной бумаги в процессе его колебания;

Ā_i – средний уровень доходности по i-й ценной бумаге;

A_j – варианты уровня доходности j-й ценной бумаги в процессе его колебания;

Ā_j - средний уровень доходности по j-й ценной бумаге;

σ_i, σ_j – среднеквадратическое отклонение доходности, соответственно по i-й и j-й ценными бумагами.

k корреляции доходности ценных бумаг может принимать значение:

от 1 – полная положительная корреляция дух ценных бумаг;

до 1 – полная отрицательная корреляция дух ценных бумаг.

Основные условия (исходные положения) классической теории

1. все виды инвестиционных решений связанных с формированием портфеля принимаются только на один период времени называемый «периодом владения».

2. инвестиционный рынок во всех сегментах является эффективным, т.е. все инвесторы имеют одинаковый доступ к информации, позволяющей им прогнозировать ожидаемую доходность, среднеквадратическое отклонение распределения вероятности, а также ковариацию и корреляцию между доходами для любой пары рассматриваемых ценных бумаг.

3. при формировании портфеля осуществляется отбор только рисковых финансовых инструментов.

4. инвестиционное решение связанные с отбором отдельных активов в инвестиционный портфель базирующийся на трех показателях: rож., σ и ковариации.

5. в процессе формирования портфеля транзакционные издержки и налоги, связанные с покупкой и продажей ценных бумаг в расчет не принимаются.

Основополагающим принципом теории является принцип предпочтения инвестора, который заключается в том, что при прочих равных условиях инвесторы предпочитают больший доход меньшему, а также меньший риск – большему. Это значит, что в процессе формирования инвестиционного портфеля каждый инвестор должен оценивать уровень доходности и риска портфеля, а затем основывать на соответствиях этих показателей, выбрать лучший его вариант.

Предпочтения инвестора ограничены рамками инвестиционного поля.

А

Б

Д

Максимальная доходность при минимальном риске

В

Г Е

Максимальный риск при минимальной доходности

σ

Ж З И

В рамках инвестиционного поля портфель, размещенный, в квадрате АБГД является, наиболее оптимальным, но он не ориентирует инвестора на выбор конкретного инвестиционного портфеля в общем рассмотренном пространстве.

Критерием, обеспечивающим сужение поля выбора портфеля, является «кривая безразличия», в основе построения которой лежат функции полезности инвестора отражающие его отношение к риску и доходности портфеля.

Теория полезности и оценка отношения инвестора к риску.

Выбор между рисковыми альтернативами определяется с помощью теории предпочтений инвестора (теории полезности).

Предпосылки теории полезности:

1. все инвесторы принимают всегда рациональные решения;

2. все инвесторы способны совершать рациональный выбор среди множества альтернатив;

3. предпосылка о не насыщаемости, т.е. все инвесторы всегда предпочитают больший доход меньшему (предельная полезность всегда положительна).

Свойства теории полезности:

• ожидаемая полезность представляет собой линейную комбинацию полезностей исходов, т.е. представляет собой функцию ранжирования рисковых альтернатив.

Е(u (w)) = Σp_i ∙ И(w_i)

• ожидаемая полезность может быть использована для ранжирования комбинаций рисковых альтернатив, т.е. функция полезности сохраняет принцип доминирования: если полезность исхода x>чем полезность исхода y, то исход x более предпочтителен.

И(x)>И (y), то x>y

Определив способ построения функции полезности можно использовать эту теорию для определения того, склонен или не склонен к риску инвестор.

Предположим, что мы имеем два исхода: А и В. При этом можно выбрать несколько вариантов предпочтений:

1. предпочтем актуарную стоимость портфеля (например: гарантированные 10$);

2. предпочли бы 100$, с вероятностью получения 10%;

3. не получили ничего с вероятностью 90%.

Если мы предпочитаем 2 и 3, мы являемся склонными к риску;

Если нам безразлично – мы нейтральны к риску;

Если предпочитаем получение гарантированной актуарной стоимости портфеля – то мы не склонны к риску.

И (w)

Склонный к риску

И (В) инвестор

И (А)

w

A B

И (w)

Нейтральный к риску

инвестор

И (В)

И (А)

w

A B

И (w)

И (В)

Не склонный к риску инвестор

И (А)

w

А В

Функция полезности, как правило, задается логарифмической функцией.

И (w) = ln (w)

w И (w) полезность = логарифму

1 0,0

5 1,61

10 2,30

20 3,0

30 3,40

пример: инвестору предполагается выбор, по которому можно получить:

5$ с вероятностью 80%

30$ с вероятностью 20%, тогда ожидаемый доход от лотереи будет равен

Д_ож. =5∙ 0,8+30∙0,2= 10$

И (w) может быть получена из значений функции полезности.

И (w) = И(10) = 2,3

Рассчитаем полезность самой лотереи.

Е (И (w)) = Σ Р_i∙ И (w)

Е (И (w)) = 0,8∙1,61+0,2∙3,4 = 1,97

Так как для данного инвестора полезность самой лотереи, чем полезность

ожидаемого дохода, то данный инвестор является не склонным к риску.

Выводы теории полезности:

Если И (w)>E (И (w)), то инвестор не склонен к риску;

Если И (w) = E (И (w)), то инвестор нейтрален к риску;

Если И (w)< E (И (w)), то инвестор склонен к риску.

Модель оценки финансовых активов САРМ

Теория портфеля по Марковицу представляет сторону спроса. Однако ничего не говорит о предложении, поэтому, пользуясь теорией, Марковица приходится, один из параметров оценки (доход или риск) задавать интуитивно. К использованию портфеля для макроэкономического спроса обратился Джеймс Тобин, который показал, что включение в портфель без рискового актива ведет к выгоде инвестора.

В качестве без рискованного актива могут использоваться государственные ценные бумаги.

Оценить риск инвестиционного портфеля при вводе в его состав безрискового актива можно посредством следующей формулы:

σ _{б.р. =} D_n∙σ_n

σ _б.р. – риск портфеля вследствие включения в его состав без рисковых ценных бумаг;

А_n – доля занимаемая прежним портфелем во вновь сформулированном;

σ_n – риск прежнего портфеля.

Введение в портфель без рисковых ценных бумаг снижает совокупный портфельный риск, однако при этом будет снижаться доходность портфеля. Поэтому инвестор, негативно относящийся к риску, выбирает большую долю без рисковых активов в портфеле. Плата за это – потеря доходности.

В целях выбора наиболее оптимальной структуры портфеля ценных бумаг можно использовать k α , который представляет собой отношение премии за риск к риску портфеля.

α = rож. – rб.р./σ_n

rож. – ожидаемая доходность портфеля;

rб.р. – доходность без рисковых активов, срок погашения которых соответствует сроку погашения инвестиционного портфеля;

σ_n – среднеквадратическое отклонение портфеля.

Для определения доходности портфеля, состоящего из нескольких ценных бумаг ожидаемая доходность определяется, как:

rож(п) = ^NΣ_i=1 D_i ∙ r_i

D_i – доля конкретного вида ценных бумаг в портфеле на момент его формирования;

r_i – ожидаемая или фактическая доходность i-й ценной бумаги;

N – количество ценных бумаг в портфеле.

Риск портфеля измеряется среднеквадратическим отклонением фактической доходности портфеля от ожидаемой по следующей формуле:

σ²_n = ^NΣ_i=1 ∙^NΣ_j=1 D_i∙A_j∙Cov_ij Cov_ij = Cor_ij∙σ_i∙σ_j

В дальнейшем Уильям Шарп отталкиваясь от теории Тобин (1963 г.) построил модель ценообразования на финансовые активы (САРМ).

Эта модель устанавливает простую связь между доходностью и риском актива для равновесного рынка. Она значительно упрощает анализ доходности отдельного актива в рамках диверсифицированного портфеля, позволяет сравнивать любой инвестиционный портфель с эффективным портфелем по параметрам доходности и риска.

В рамках этой теории финансовый риск разделяется на две части:

1. диверсифицируемый риск, который может быть устранен путем включения в портфель большего количества ценных бумаг;

2. не диверсифицируемый риск, который нельзя уменьшить путем диверсификации.

Теория предполагает, что доходность различных ценных бумаг обусловлена единственным фактором – общей реакцией на изменение рынка в целом. Оптимальный портфель инвесторов определяется как комбинация положительного или отрицательного количества без рискового актива (1) и рыночного портфеля (2). Пропорции между 1 и 2 будут зависеть от склонности или несклонности инвестора к риску.

Модель САРМ состоит из 2 фундаментальных уравнений:

1. уравнение линии рынка капитала (CML);

2. уравнение линии рынка ценных бумаг (SML).

Уравнение CML выражает ожидаемую доходность портфеля в терминах риска этого портфеля.

r _ож.= r_б.р. + (r_р. - r_б.р.)∙σ_n /σ_p.

r_б.р. – доходность без рисковых ценных бумаг;

r_р. – рыночная доходность;

σ_n – риск портфеля;

σ_p. – рыночный риск.

CML

r

r_p

α

45º

r_б.р.

β

Уравнение CML относится не к любому, а только к оптимальному портфелю, лежащему на линии рынка капитала.

Уравнение SML связывает ожидаемую доходность с ковариацией доходности данного актива и доходности рынка в целом. При этом ценные бумаги обладают различными доходами вследствие различных β коэффициентов.

β является коэффициентом, определяющим влияние общей ситуации на рынке на доходность конкретной ценной бумаги.

β= Cov_ij / σ²_р.

Уравнение SML позволяет рассчитать требуемую доходность инвестиционного портфеля.

r_т.р. = r_б.р. + (r_р.– r_б.р.)∙β

Таким образом для эффективности портфелей (r_ож..=r_т.р.), т.е. доходность портфеля должна соответствовать доходности рынка капитала или линия рынка ценных бумаг должна лежать на линии рынка капитала для того или иного инвестиционного портфеля.

β= σ_n/σ_p.

Таким образом, для определения значения риска линия рынка ценных бумаг показывает скорость движения доходности на рынке. Каждая ценная бумага, обладающая таким риском должна обеспечивать соответствующую ожидаемую доходность, требуемую для компенсации данного риска.

Если r_ож. ≠ r_т.р., то цены ценных бумаг будет изменяться.

Если r_ож.>r_т.р., спрос на ценные бумаги будет расти и ее цена увеличиться.

Если r_ож.< r_т.р., инвесторы будут стремиться продать эту ценную бумагу и ее цены упадут.

β коэффициент характеризует наклон линий рынка ценных бумаг. Он показывает чувствительность доходности ценных бумаг к изменению рыночного портфеля.

Если наклон = 1, это означает, что доходность акции изменяется пропорционально доходности рыночного портфеля, т.е. акции имеют тот же не диверсифицируемый риск, чем рынок в целом. (т.е.≤45%).

Если наклон >45% (т.е. β

>1), то доходность акции изменяется, чем доходность рыночного портфеля, т.е. акция, имеет больший систематический риск, чем рынок.

Если наклон <45% (т.е. β<1), то акции имеют меньший не диверсифицируемый риск, чем рынок, ее доходность изменяется медленнее рыночной.

Выводы современной портфельной теории

С учетом принципиальных положениях современной теории осуществляется формирование портфеля финансовых инвестиций, процесс которого состоит из следующих этапов:

1. выбор портфельной стратегии и типа формируемого инвестиционного портфеля.

В первую очередь осуществляется типизация портфеля по целям формирования инвестиционного дохода: формируется портфель роста или портфель доходов.

Во вторую очередь осуществляется типизация портфеля по уровню принимаемых рисков: формируется умеренный, агрессивный или консервативный портфель.

В третью очередь осуществляется типизация портфеля по уровню ликвидности: формируются средне-, высоко-, низко-ликвидный портфель.

В четвертую очередь определяется инвестиционный период и специализация портфеля.

Результатом этого этапа является полная идентификация портфеля, и

определяются задаваемые параметры уровня доходности и риска.

2. оценка инвестиционных качеств финансовых инструментов инвестируется по показателям уровня, риска и взаимной ковариации.

Результатом этого этапа является формирование портфеля полностью соответствующего всем важнейшим параметрам.

3. отбор финансовых инструментов в портфель с учетом их влияния на параметры уровня доходности и риска портфеля.

При этом измеряется показатель β по каждому финансовому инструменту инвестирования, обеспечивается заданный уровень r_ож портфеля и создаются возможности диверсификации портфеля в целях снижения уровня несистематического риска.

Результатом этого этапа является определение видовой структуры портфеля и стартового его состава по конкретным финансовым инструментам.

Консервативный портфель содержит: 80% государственных ценных бумаг, 15% долгосрочных облигаций предприятия и 5% акций.

Умеренный портфель: 55% государственных ценных бумаг, 25% долгосрочных облигаций предприятия и 20% акций.

Агрессивный портфель: 15% государственных ценных бумаг, 35% долгосрочных облигаций предприятия и 50% акций.

4. оптимизация портфеля направленная на снижение уровня его риска в перспективе при заданном уровне r_ож. При этом увеличение количества используемых ценных бумаг позволяет существенно снизить уровень портфельного риска. Минимальным требованиям диверсификации портфеля соответствует включение в него не менее 10-12 финансовых инструментов.

Результатом является обеспечение достижения минимального уровня риска при заданном уровне r_ож. (чем больше количество ценных бумаг в портфеле, риск ниже).

5. оценка основных параметров формируемого инвестиционного портфеля. Позволяет оценить уровень доходности портфеля и уровень риска портфеля.

r_n = ^NΣ_i=1r_i ∙A_i доходность портфеля

β_n=^NΣ_i=1β_i ∙A_i β портфеля

Результатом является определение того, на сколько стартовые характеристики портфеля отвечают целевым параметрам его построения. Инвестиционный портфель, который полностью отвечает целям его формирования, как по типу, так и по составу включенных в него инструментов представляет собой сбалансированный инвестиционный портфель.

Пример:

Определить ковариацию r_ож акции, k корреляции между ними равен 0,7, а в будущем существуют следующие прогнозы получения дивидендного дохода.

показатели	«А»		«В»
	1	2	1	2
rож.	100	120	90	110
Рi	0,4	0,6	0,3	0,7

r_ож.(А)= 100∙0,4+120∙0,6 = 112 рублей

r_ож.(В)= 90∙0,3+110∙0,7=104 рубля

σ²_А = (100-112)²∙0,4+ (120-112)²∙0,6 = ±9,8

σ²_В = (90-104)²∙0,3 + (110-104)²∙0,7 = ±9,2

Cov_А,В = 0,7∙9,8∙9,2 = +63,1

Пример: определенный риск состоит из 3-х активов: А, Б и В, если имеются следующие данные:

Доля финансовых активов в инвестиционном портфеле: D=0, 3; D=0, 5;

D=0, 2;

Cov_А,Б – 105; Cov_А,В – 90; Cov_Б,В – 150;

Среднеквадратическое отклонение ожидаемой доходности: σ_А – 9,3; σ_Б – 8,2;

σ_В – 6,5.

σ_п = (0,3∙0,3∙9,3²+0,3∙0,5∙105+0,3∙0,2∙90)+( 0,5∙0,3∙105+0,5∙0,5∙8,2²+0,5∙0,2∙150)

+(0,2∙0,3∙90+0,2∙0,5∙150+0,2∙0,2∙6,5²)) = 9,92 - не большой риск

пример: Инвестиционный портфель П₁ характеризуется риском 20%. Планируется сформировать инвестиционный портфель П₂, который будет включен в свой состав в полном объеме портфеля П₁, а также без рисковые

активы.

Определить как изменяется риск нового портфеля П₂,если доля без рисковых активов в нем составляет 30%.

σ _{б.р. =} А_n∙σ_n

σ _б.р.= (1-0,3)∙20% = 14%

В результате включения в состав портфеля без рисковых активов, его риск снизился на 6%.

Пример: определить требуемую доходность по акциям, если доходность по без рисковым ценным бумагам – 10%, Cov_ip – 38, σ _р – 5%, r_р – 18%.

Используем уравнение линии рынка ценных бумаг r_т.р. = r_б.р. + (r_р.– r_б.р.)∙β

β = Cov_ip/ σ ²_р = 38/25 = 1, 52

r_т.р. = 10+ (18-10) ∙1, 52 = 22, 16%

пример: необходимо выбрать оптимальную структуру портфеля из 3-х предлагаемых соотношений акций.

акции	1 портфель	2 портфель	3 портфель
А	0,4	0,5	0,7
Б	0,6	0,5	0,3

Имеются следующие инвестиционные характеристики акций.

А: r _{ож. i} – 20% , σ – 10%;

Б: r _{ож. i} - 30% , σ – 40%;

r_б.р. – 10%, Cov_А,Б – 0,5.

Найти:

• риск портфеля, Cov;

• r _ож. портфеля;

• α;

• вывод оптимальной структуры, какой портфель нужно создать.

Cov_А,Б = Cor_A,Б∙ σ_А∙ σ_Б = 0,5∙10∙40 = 200

r_{ож.1 п.} = (0, 4∙20) + (0, 6∙30) =26%

r_{ож.2 п.} = (0, 5∙20) + (0, 5∙30) =25%

r_{ож.2 п.} = (0, 7∙20) + (0, 3∙30) =23%

α = r_ож.- r_б.р./ σ_n

α = 26-10/9,8 = 1,63

α = 25-10/10 = 1,5

α = 23-10/9,2 = 1,41

наилучшая структура 1 портфеля ( 40% - А и 60% - Б).