Напряжения и деформации при кручении вала

Выведем формулы для определения деформаций и напряжений, возникающих при кручении валов. Для наиболее часто встреча­ющихся валов круглого и кольцевого сечения при кручении попе­речные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сече­ний, поворачиваясь, не искривляются.

Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и коль­цевого сечения. Рассмотрим элемент вала (рис.а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемеще­ний относительно этого сечения. Нетрудно показать, что рассма­триваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действи­тельно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига γ_mах для образующей АВ или γ для образующей ЕС (рис.а). При этом радиус крайнего правого сечения ОB пово­рачивается в положение ОВ₁ на некоторый угол φ, называемый углом закручивания. Учитывая малость деформаций и выражая ВВ₁ и СС₁ как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига γ_mах или γ и углом закручивания φ: ВВ₁ = γ_mах l = φr; СС_{1 =} γ l = φρ,

Откуда γ_mах = φr/ l; γ = φρ/ l.

Выражая из уравнения φ / l через γ_mах и подставляя это значение в следующее уравнение получаем: φ/ l = γ_mах /r; γ = γ_mахρ/r.

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси вала ρ. Величина φ/ l,

определяющая относительный угол закручивания или угол на единицу длины, для каждого сечения вала является постоянной, так как выражается через постоянную значения γ_mах и r.

Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникнове­нием в его поперечных сечениях касательных напряжений, кото­рые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

τ= G γ = G γ_mах ρ / r и α= d_в / d_нпри ρ = г

или τ = τ _шах ρ / r,

т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сече­ниях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке сечения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис. б).

Зная закон распределения касательных напряжений по попе­речному сечению бруса, можно определить их величину в зависи­мости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

τ = τ_mах =

Эта формула определяет касательное напряжение в лю­бой точке поперечного сечения при кручении вала круглого по­перечного сечения. Напряжения в точках, близких к оси вала, малы, поэтому для уменьшения его массы иногда удаляют внутреннюю часть и делают его полым — с кольцевым сечением.

Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сече­нии в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси.

Формулу для т_шах можно представить в виде

τ_mах = М_к r/J_p = М_к / = М_к /W_p

Отношение = W_p называют полярным моментом сопро­тивления сечения.

Полярный момент сопротивления круга вычислим, разделив величину J_p на радиус r = 0,5d,

W_{p =} J_p /0,5d =πd⁴/(32·0,5d) = πd³/16≈0,2d³.

Аналогично для кольцевого сечения

W_p = (πd³ _н/16)(1-α⁴)≈ 0,2 d³(1-α⁴), где α= d_в / d_н

Определим угол закручивания бруса, изображенного на рис. а.

Исходя из уравнений γ_mах = φr/ l и τ_mах = G γ_mах, находим

φ = l γ_mах/ r = lτ_mах / rG

Подставляя τ_mах = М_к r/J_p , окончательно получаем

φ = l τ _mах / rG = М_к l/G J_p .

Величина угла φ выражается в радианах. Угол поворота по формуле можно определять лишь для участка бруса, имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что крутящий мо­мент по длине этого участка не изменяется.