Тема 2.5 кручение

Чистый сдвиг

Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис.а), поэтому деформация чистого сдвига отнесена к теме «кручение».

Рассмотрим элемент аbсd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. б).

(Их

При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань аd, закрепленной, то грань bc

сдвинется в положение b₁c₁. Прямые углы между гранями изме­няются на величину γ. Угол γ., представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного па­раллелепипеда, называется углом сдвига.

Касательные напряжения τ и угол сдвига γ., называемый также относительным сдвигом, связаны прямой пропорциональностью, т. е. законом Гука τ = G γ.

Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как у выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм², кгс/см².

Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, которую приводим без вывода:

G =,

где μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуас­сона).

Для стали | μ = 0,25; G = 0,4E = 0,4·2·10⁵ = 8·10⁴ МПа.

Приведенные соотношения между G и Е подтверждаются опы­тами.

Основные понятия. Эпюры крутящих моментов

На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.

Кручение возникает при нагружении бруса парами сил, рас­положенными в плоскостях, перпендикулярных продольной оси бруса.

Моменты этих пар М_вр называют вращающими моментами. Их алгебраическая сумма равна нулю, если вал находится в равно­весии и вращается равномерно. Величину вращающего момента

м_ВР можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения п

М_ВР = 9,554

Эта формула дает вели­чину момента в Н·м, если мощность выражена в Вт, а частота в об/мин.

Момент внутренних сил относительно продольной оси бруса называют крутящим моментом М_к. При кручении в поперечных сечениях бруса возникает один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_к. Он определяется при помощи метода сече­ний.

Когда вращение от двигателя передается при помощи пере­даточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения кру­тящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть пред­ставлен эпюрой крутящих моментов. Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис.а); шкив 1 получает вращение от двигателя, шкивы //, /// и IV передают его станкам. Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле. Направление мо­мента М₁ противоположно направлению моментов M₂, М₃ и М₄. При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:

ΣМ_iz = 0; - М₂ + М₁ - М₃ - М₄ = 0.

Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис.а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II и I уравновешивает момент внешней пары М₂, действующей на левую отсеченную часть.

При рассмотрении правой части из условия ее равновесия мы получили бы, естественно, тот же результат:

М_К1 = М₁ - М₃ -М₄ = М₂.

Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами / и ///

М_К2 = М₂ - М₁ = -М₃ -М_4, а на третьем участке между шкивами /// и IV

М_К3 = М₂ - М₁ + М₃ = - М₄

Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, дей­ствующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и при­ложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис.б) ординаты, пропорциональ­ные крутящим моментам в поперечных сечениях соответству­ющих участков вала.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала опреде­ляется исходя из направления внешних моментов. Крутящий мо­мент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

Положительные ординаты эпюры крутящих моментов отклады­вают вверх, отрицательные - вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.