- •§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.1. Общие понятия
- •§6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Примеры для самостоятельной работы.
- •§7 Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.1.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения лнду.
- •7.2. Метод подбора частного решения лнду по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).
- •7.3. Структура частного решения лнду с аддитивной правой частью.
7.3. Структура частного решения лнду с аддитивной правой частью.
Наряду с рассмотренными в7.2. решениями (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами встречаются такие (ЛНДУ), где правая часть аддитивна, т.е. является суммой двух или нескольких функций разного вида.
.
Теорема 1:
Если - частное решение (ДУ)
,
а - частное решение (ДУ)
,
то является частным решением (ДУ)
.
Таким образом, решение ЛНДУ с аддитивной правой частью можно представить схематично (рис.2).
- по ви-
ду правой части
- общее решение ЛОДУ
а) б)
а) - частное решение б) - частное решение
для для
Общее решение ЛОДУ: .
Рис. 2. Общая схема решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов с аддитивной правой частью.
Пример 8. Найти общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Найдем общее решение соответствующего ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение . Его корни .
Общее решение ЛОДУ:
.
-
Правая часть ЛНДУ
. сумма 2-х функций.
Тогда структура частного решения: . Рассмотрим отдельно и в соответствии с общей схемой (2).
соответствует I виду (т.к. не совпадает ни с , ни с , ).
соответствует 1-му случаю I вида правой части (т.к. не совпадает ни с , ни с , то ).
Частное решение по своему общему виду такое же, как и правая часть
, но с неопределенными коэффициентами:
.
-
Найдем неизвестные коэффициенты . Для этого подставим в данное ДУ . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 2,3, и 1:
Сложим соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с неизвестными .
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:
.
-
Подставим в общий вид :
.
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
Ответ: .
Примеры для самостоятельной работы.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Решить дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов:
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15
7.16.
Решить дифференциальное уравнение с аддитивной правой частью:
7.17.
7.18.
7.19.
7.20
7.21.
Ответы:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.