- •§6 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.1. Общие понятия
- •§6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Примеры для самостоятельной работы.
- •§7 Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •7.1.Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) решения лнду.
- •7.2. Метод подбора частного решения лнду по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).
- •7.3. Структура частного решения лнду с аддитивной правой частью.
7.2. Метод подбора частного решения лнду по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).
Этот метод применим к решению ЛНДУ с постоянными коэффициентами вида (3) только в случаях, когда его правая часть :
-
многочлен;
-
показательная функция;
-
тригонометрические функции (или одна из них);
-
линейная комбинация перечисленных функций;
-
произведение перечисленных функций.
Таким образом, рассматриваемый метод применяется при следующем виде правой части ЛНДУ:
, (2)
где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. Возможны разновидности этого вида правой части в зависимости от того, содержатся или нет в тригонометрические функции.
Сущность метода состоит в том , что :
-
по характерному виду правой части ЛНДУ и корням характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ определяется общий вид частного решения уравнения (ниже рассматриваются различные случаи и соответствующих им );
-
неизвестные коэффициенты многочлена или тригонометрических функций в искомом находятся методом неопределенных коэффициентов. Он состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях ( или при одноимённых тригонометрических функциях) левой и правой частей уравнения, полученного в результате подстановки в данное ЛНДУ частного решения ( в его общем виде) и его производных ;
-
найденные коэффициенты подставляются в предварительно установленный общий вид , в результате находится .
-
далее в соответствии со структурой общего решения ЛНДУ суммируется ЛОДУ и ЛНДУ и получается
.
Рассмотрим два различных вида ( и их частные случаи) правой части ЛНДУ (3) и соответствующие им виды частного решения (см. таблицу 3).
Таблица 3.
Частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений по виду его правой части
|
Вид правой части и его частные случаи |
Вид частного решения |
I |
, где -многочлен -ой степени;-постоянное число. |
, где
Примеры многочленов разных степеней: |
|
Случай 1. |
, где:
|
|
Случай 2. где постоянное число(многочлен 0-ой степени). |
, где
|
II |
где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. |
, где:
|
|
Случай 1. , т.е. - многочлены 0-й степени, т.е. постоянные числа, , где - действительные числа ( в частности, возможно или ). |
, где
|
|
Случай 2. , , , где - действительные числа .
|
, где
|
Рассмотрим сущность метода подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части на примерах.
I вид. Правая часть ЛНДУ
, (1)
где - многочлен -ой степени, - постоянное число. Тогда общий вид частного решения: , где - та же самая показательная функция, что и в ; - многочлен той же степени, что и ; - число корней характеристического уравнения, равных .
Далее путем подстановки общего вида в линейное неоднородное дифференциальное уравнение находятся неопределённые коэффициенты многочлена .
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
Решение.
-
Находим общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
.
Характеристическое уравнение : . Его корни . Общее решение ЛОДУ: .
-
Правая часть . Следовательно, общий вид частного решения ЛНДУ: , (, т.к. оба корня характеристического уравнения совпадают с ). Итак,
.
-
Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого подставим в данное дифференциальное уравнение . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 4, 4 и 1:
Сложим левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с тремя неизвестными . Разделим обе части полученного уравнения на . Приравниваем коэффициенты слева и справа при одинаковых степенях :
Решение системы: .
-
Подставим A и B в общий вид , получим
.
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
Ответ: .
Замечание. Следует обратить внимание на то, что полученное в данном примере значение r=2 (кратность корней) привело к двум не информативным алгебраическим уравнениям (*).
В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи I-го вида правой части f(x).
Случай 1.
Правая часть ЛНДУ: , где - многочлен n-ой степени, т.е.
.
Таким образом, в .
Тогда общий вид частного решения: , где - многочлен той же степени, что и , r – число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Далее, дифференцируя функцию и подставляя выражения в ЛНДУ, находим неопределенные коэффициенты многочлена .
Подставляя эти коэффициенты в общий вид , находим частное решение ЛНДУ.
Напомним общий вид многочленов:
-
третьей степени (n=3): ;
-
второй степени (n=2): ;
-
первой степени (n=1): ;
-
нулевой степени (n=0): .
Пример 4. Найти общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение: . Его корни: .
Общее решение ЛОДУ: .
-
Правая часть , следовательно общий вид частного решения ЛНДУ: , , т.к. один корень характеристического уравнения равен 0).
-
Найдем неизвестные коэффициенты A и B. Для этого подставим в данное ДУ :
.
Тогда
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях :
.
-
Подставим A и B в общий вид , получим
.
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
: .
Ответ: .
Случай 2.
Правая часть ЛНДУ: , где - постоянное число, т.е. в (20) - многочлен нулевой степени (=0).
Тогда общий вид частного решения: , где - та же показательная функция; - постоянное число (в общем случае ), которое находится методом неопределенных коэффициентов; - число корней характеристического уравнения, равных .
Возможен и еще один, наиболее простой, частный случай (вернее, подслучай) вида правой части ЛНДУ: , т.е. в (20) , =0. Тогда общий вид частного решения: , где - постоянное число, которое находится методом неопределенных коэффициентов, - число корней характеристического уравнения, равных нулю. Рассмотрим второй вид правой части ЛНДУ, в котором содержатся тригонометрические функции и , т.е. наиболее общий вид (19) и его частные случаи.
II вид. Правая часть ЛНДУ содержит тригонометрические функции и , с полными многочленами перед ними:
, (19)
где - многочлен -ой степени, - многочлен -ой степени.
Тогда общий вид частного решения:
,
где и - многочлены -ой степени, ; и - те же тригонометрические функции, что и в правой части ДУ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с . Далее применяется метод неопределенных коэффициентов.
Пример 5. Найти общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение . Его корни комплексные . Общее решение ЛОДУ:
.
-
Правая часть соответствует общему виду (19), когда многочлены при и полные. В данном случае:
=1 – многочлен 0-ой степени,
– многочлен 1-й степени, , т.к. множитель (поэтому в записи он отсутствует).
Тогда этому виду правой части соответствует частное решение вида
,
т.к. , т.е. при и многочлены 1-й степени, (т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).
-
Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C, D.
Для этого подставим в данное ДУ Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 1, 0, 1:
.
Сложив соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с неизвестными А, В, С, D.
Аналогично предыдущим примерам приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:
-
Подставим А, B, C, D в общий вид :
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
Ответ: .
В практике решения ЛНДУ распространены следующие частные случаи II-го вида правой части .
Случай 1. Правая часть ЛНДУ:
,
где - известные действительные числа. Таким образом, в (19) , т.е. и - многочлены 0-ой степени.
Тогда общий вид частного решения:
,
где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - та же показательная функция; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
Пример 6. Найти общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:
.
Характеристическое уравнение: . Его корни комплексные: .
Общее решение ЛОДУ: .
-
Правая часть соответствует первому частному случаю II вида правой части:
.
(=1, т.к. совпадает с корнем характеристического уравнения).
-
Найдем неизвестные коэффициенты и . Для этого предоставим данное ДУ . Предварительно найдем их, а затем умножим соответственно на 5,4 и 1:
Сложим соответственно левые и правые части этих равенств, получим алгебраическое уравнение с двумя неизвестными и .
Разделим обе части полученного уравнения на . Аналогично предыдущему примеру, приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:
(*)
Вновь (как это было в примере 3) два уравнения с неизвестными коэффициентами в (*) не информативны. Из оставшихся уравнений имеем:
.
-
Подставим и в общий вид , получим
.
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
Ответ: .
Случай 2. Правая часть ЛНДУ:
,
где известные действительные числа. Таким образом, в (19) многочлены 0-ой степени, т.е. .
Тогда общий вид частного решения:
,
где и - неизвестные действительные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов; и - те же тригонометрические функции, что и в ; - число корней характеристического уравнения, совпадающих с .
Пример7. Определить общий вид частного решения ДУ
.
Решение.
-
Составим характеристическое уравнение соответствующего ЛНДУ: . Его корни .
-
Правая часть соответствует второму частному случаю II вида, следовательно
,
где (т.к. - совпадает с одним корнем характеристического уравнения).
Таким образом, - общий вид частного решения.
Ответ: - общий вид частного решения.
Обобщением всех рассмотренных случаев правой части при нахождении частного решения ЛНДУ является (19) (в таблице 3 вида II)
Завершая рассмотрение решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов, представим общую схему (Рис.1)
1-й этап
|
ЛОДУ |
2-й этап ЛОДУ |
что найти
|
-общее решение ЛОДУ |
- частное решение ЛНДУ |
как найти |
и найти его корни;
(см. табл.2).
|
в .
|
3-й этап
|
Найти - общее решение ЛНДУ |
|
Рис. 1 Общая схема решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов