Вопрос 14

Угол между двумя плоскостями (формулировка и пример)

Если две плоскости и пересекаются, то они пересекаются по прямой, которую обозначим буквой l (рис. 42). Прямая l делит каждую плоскость на две полуплоскости.

Фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей а, называется двугранным углом (рис. 42). При этом прямая а — ребро угла, а полуплоскости - грани угла.

Двугранный угол измеряется величиной линейного угла, т. е. угла, образованного двумя лучами, перпендикулярными ребру угла и принадлежащими их граням.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары смежных углов. Меньший из смежных углов называется углом между плоскостями. Если один из этих углов равен 90°, то и остальные равны по 90°, а соответствующие плоскости называются перпендикулярными. Если две плоскости параллельны, то углы между ними принимаются равными нулю.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

            На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:  .Это условие выполняется, если: .

Вопрос 15 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

            Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

            Рассмотрим точки М₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), M₃(x₃, y₃, z₃) в общей декартовой системе координат.

            Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М₁, М₂, М₃ необходимо, чтобы векторы  были компланарны.

( ) = 0

 

            Таким образом,             

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

16. Разложение многочленов на множители

В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.

 

1.	Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки (см. раздел “Одночлены и многочлены”).
2.	Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется      внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за скобки и многочлен будет разложен на множители.   П р и м е р :    ax+ bx+ ay+ by = ( ax+ bx ) + ( ay + by ) =                           = x( a + b ) +  y ( a +  b ) = ( x + y ) ( a +  b ) .
3.	Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.   П р и м е р :     y2 – b2  = y2 + yb – yb – b2 = ( y2 + yb ) – ( yb + b2 ) =                           = y ( y + b ) – b ( y + b ) = ( y + b ) ( y – b ) .
4.	Использование формул сокращённого умножения.