Вопрос 11

Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

(1)

называется общим уравнением прямой.

Угол , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение является уравнением прямой, которая проходит через точку (, ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки (, ), (, ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки (, ) и (, ).

12.Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

 

Вопрос 13

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор

В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение

(1)

определяет плоскость, проходящую через точку и имеющей нормальный вектор .

Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число буквой D, представим его в виде

.

Это уравнение называется общим уравнением плоскости.

Вопрос 12

Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую – ни будь ее точку  и два произвольных приложенных к этой точке неколлинеарных вектора:

 и .

Прилагая векторы  и  к точке , получим всевозможные закрепленные векторы вида  , где  - произвольные вещественные числа; концы  этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку  и два приложенных к ней вектора .

В координатной форме уравнение (3) записывается так:

           (4)

(4) – параметрическое уравнение плоскости.

Уравнение (4) выражают линейную зависимость столбцов матрицы

Что эквивалентно равенству:

           (5)

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: ; ; .

Решение. Искомая плоскость содержит точку  и неколлинеарные векторы:

 и , следовательно, ее уравнение можно записать в виде (5):

Если все коэффициенты уравнения  (1) отличны от нуля, тогда его можно записать в виде:

 

Или

                    (6)

Где ; ; .

(6) – уравнение плоскости в отрезках, т.к. числа  - алгебраические значения отрезков, отсеченных плоскостью (1) на осях координат