1.4. Ускорение
При любом движении точки, кроме равномерного прямолинейного движения, скорость точки изменяется. Для характеристики быстроты изменения скорости точки в механике вводится векторная физическая величина, называемая ускорением.
Ускорением
называют вектор
,
равный первой производной по времени
t
от скорости
этой точки:
=
.
(1.16)
На
основании (1.16) ускорение точки равно
также второй производной по времени от
радиус-вектора
этой точки:
=
.
(1.17)
Разложение
ускорения точки по базису
т.е. на составляющие по осям прямоугольной
декартовой системы координат, имеет
вид
=
(1.18)
где
=
=
,
=
,
=
.
(1.19)
Здесь
,
,
– компоненты скорости точки, а
– координаты этой точки в рассматриваемый
момент времени.
Средним
ускорением
неравномерного движения в интервале
до
+∆
называется векторная величина, равная
отношению изменения скорости ∆
к интервалу
времени
+∆
:
<
>=
.
(1.20)
Мгновенным
ускорением
материальной точки в момент времени t
будет предел среднего ускорения:
=
.
(1.21)
Рассмотрим
движение точки А
по криволинейной траектории. Пусть
вектор
задает
скорость точки А
в момент времени
За время ∆
движущаяся точка перешла в положение
В
и приобрела скорость, отличную от
как по модулю, так и по направлению и
равную
.
Перенесем вектор
в точку А
и найдем ∆
(рис. 1.14), разложим вектор ∆
на две составляющие. Одна составляющая
∆
τ
направлена по направлению скорости
и определяет изменение скорости за
время ∆
по
модулю
∆
=
1
–
.
Вторая составляющая
характеризует
изменение скорости за время ∆
по
направлению.
Рис.
1.14.
Вектор ∆
разлагается на две составляющие ∆
τ
и
Тангенциальная составляющая ускорения
τ=
=
,
(1.22)
т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяет тем самым быстроту изменения скорости по модулю.
Нормальная составляющая ускорения равна:
=
,
(1.23)
где
- радиус кривизны траектории.
Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).
Полное ускорение есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 1.15):
=
=
τ+
.
(1.24)
Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения – быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).
Движение
точки называется равнопеременным,
если в этом движении
τ
=
const,
т.е. за равные промежутки времени модуль
скорости точки изменяется на одинаковые
величины. В случае равноускоренного
движения
τ
= const
> 0, а в случае равнозамедленного
движения
τ
= const
< 0. При равномерном
движении
τ
= 0.
Модуль ускорения точки
=|
|=
.
(1.25)
При криволинейном движении точки вектор ее ускорения всегда отклонен от касательной к траектории в сторону вогнутости (рис. 1.15).
Рис. 1.15. При криволинейном движении полное
ускорение
разлагается на тангенциальное ускорение
τ
и
нормальное (центростремительное)
В
случае ускоренного движения угол
между векторами
и
τ
острый. При
замедленном движении точки угол
тупой.