- •Практикум решения задач по дисциплине «Системный анализ»
- •Решение задач Линейного программирования графическим методом
- •1.1 Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Решение задач Линейного программирования симплекс-методом
- •2.1 Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
- •2.2 Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
- •2.3 Алгоритм 3 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц для решения двойственной задачи Линейного программирования
- •2.4 Задача 1
- •2.5 Задача 2
- •2.6 Задача 3
- •2.7 Задача 4
- •Решение матричных игр 2 X n и m X 2 графоаналитическим методом
- •3.1 Задача 1 ( решение игры 2 X n)
- •3.2 Задача 2 ( решение игры m X 2)
- •3.3 Задача 3
2.1 Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
Изначально имеем систему неравенств и целевую функцию , для которой необходимо определить максимум для заданной системы неравенств. Переменные - Свободные Переменные (СП).
Чтобы свести неравенства к равенствам к левой части неравенств добавляют некоторую неотрицательную величину . Переменные - Базисные Переменные (БП).
Тогда укороченная симплекс таблица примет вид:
CП БП |
… |
B |
||
… |
||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||
Z |
… |
0 |
Замечание 1:
Для дальнейшего удобства обозначим элемент в Z строке и B столбце .
Замечание 2:
Данный алгоритм применим, если .
-
Выбирается разрешающий столбец l соответствующий наименьшему отрицательному элементу в Z строке
-
Выбирается разрешающая строка k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:
Замечание: Если все отношения , значит, целевая функция Z неограниченно возрастает и решения нет. Необходимо прекратить симплекс преобразование.
-
Элемент стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом :
-
Переходим к новой симплекс таблице по следующим правилам:
-
Меняем местами СП и БП соответствующие разрешающему элементу.
-
На месте разрешающего элемента в новой таблице стоит величина ему обратная:
-
-
Все элементы разрешающей строки делятся на разрешающее число, включая элемент последнего столбца:
-
Все элементы разрешающего столбца делятся на разрешающее число, включая элемент последней строки, с обратным знаком:
-
Все остальные элементы матрицы вычисляются по формулам:
-
Если все элементы в Z строке симплекс таблицы неотрицательны, то достигнуто оптимальное решение, которое равно .
-
Если в Z строке симплекс таблицы найдется хотя бы один отрицательный элемент, то необходимо выполнить еще одно симплекс преобразование к симплекс таблице , согласно п.1-6 приведенного выше алгоритма.
2.2 Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц
Рассмотрим симплекс-метод для решения задачи Линейного программирования в случае, если существует .
Изначально имеем систему неравенств и целевую функцию , для которой необходимо определить максимум для заданной системы неравенств. Переменные - Свободные Переменные (СП). Данную систему неравенств необходимо привести к виду, где . А затем к приведенной системе применить “Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц”
Тогда укороченная симплекс таблица примет вид:
СП БП |
… |
B |
||
… |
||||
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||
Z |
… |
0 |
-
Выбрать строку с наименьшим отрицательным свободным членом в B-столбце
-
Рассмотреть элементы s-ой строки.
-
Если , следовательно, система несовместна, и задача Линейного программирования не имеет решений
-
Если ,то необходимо взять любой и столбец, содержащий данный элемент в качестве разрешающего столбца – .
-
-
Выбирается разрешающая строка k, которая соответствует наименьшему положительному из отношений элементов правой части уравнений на соответствующие элементы разрешающего столбца:
-
Тогда элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом .
Замечание: В случае, когда , то элемент выбирается в качестве разрешающего только в том случае, если иначе произойдет зацикливание. Если же , и в строке s кроме элемента есть еще элемент и при этом , то в качестве разрешающего столбца лучше брать столбец r. И тогда k-я строка уже не будет разрешающей.
-
Далее выполняем все п.4 “Алгоритм 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц”.
-
Если в результате симплексного преобразования в столбце свободных членов B все еще есть отрицательные элементы, то необходимо применять п. 1-5 “Алгоритм 2 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц” до тех пор пока все элементы столбца свободных членов не будут положительными
-
Если в результате симплексного преобразования в столбце свободных членов B нет отрицательных элементов, тогда перейти к применению “Алгоритма 1 Симплекс преобразования на основе укороченных симплекс таблиц” (п.1-6)