1.1 Задача 1
Используя геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования
Решение
-
Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
-
Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.
-
Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам ( условиям)
Таким образом, ОДЗ, удовлетворяющая всем четырем условиям следующая:
-
Строим вектор целевой функции Z. Для этого необходимо построить линию уровня целевой функции, где Z=0, а затем определить в какую сторону целевая функция возрастает.
Линия уровня целевой функции
проходит через точки
и
Чтобы определить градиент возрастания
целевой функции можно взять две точки
выше и ниже линии уровня целевой функции
,
подставить данные значения в уравнение
целевой функции
и посмотреть, в какой точке значение
больше нуля.
В нашем случае можно взять две точки:
и
:
Таким образом целевая функция возрастает вверх ( см. рисунок).
-
Мысленно передвигая параллельно линию уровня целевой функции вверх, нужно определить крайнюю точку ОДЗ, которую пересекают линии уровня целевой функции.
Максимального значения целевая функция
достигает в точке A.
Чтобы определить максимум целевой функции необходимо найти координаты точки А.
Точка А образована пересечением прямых
Решив данную систему уравнений, получаем
координаты точки А:
Подставив координаты точки А в
,
получаем значение максимума целевой
функции на заданном ОДЗ:
Ответ:
Замечание
1: Если есть сомнения на счет того, какая
точка является точка максимума. Например,
есть предположение, что точка B
является крайней точкой , в которой
целевая функция Z достигает
экстремума, тогда можно определить
координаты точки B,
подставив координаты данной точки в
и сравнить полученные значения
и
.
В точке максимума значение целевой
функции должно быть максимально.
Точка В образована пересечением прямых:
Решив данную систему уравнений, получаем
координаты точки B:
.
Подставив координаты точки B
в
,
получаем значение максимума целевой
функции на заданном ОДЗ:
Сравнив
значения
и
,
получаем, что точкой максимума является
точка А.
Замечание 2: ОДЗ для данного примера неограниченна снизу, поэтому поиск минимума целевой функции на данной ОДЗ не представляется возможным. Если бы задача звучала как поиск минимума целевой функции для данной системы ограничений, то ответ звучал бы так: «Решения нет»
-
Задача 2
Используя геометрические построения, найти решение задачи Линейного Программирования
Решение
-
Необходимо на плоскости построить прямые, соответствующие заданным неравенствам.
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
Прямая, соответствующая неравенству
проходит
через точки
и
-
Строим на плоскости прямые, соответствующие данным прямым.
-
Определяем ОДЗ (Область допустимых значений) данной системы неравенств. ОДЗ- это многогранник, ограниченный заданной системой неравенств, каждая точка которого удовлетворяет всем неравенствам ( условиям):
Для данной системы ограничений не существует ОДЗ – области, которая одновременно удовлетворяет всем условиям одновременно. Поэтому поиск максимума целевой функции в данном случае не имеет смысла.
Ответ: Решения нет, так как ОДЗ для заданной системы ограничений отсутствует.