3.2 Задача 2 ( решение игры m X 2)

Найти решение матричной игры, заданной матрицей выигрышей первого игрока.

	B1	B2
A1	6	5
A2	4	6
А3	2	7
А4	1	8

 

 Решение.

1. Проверим, есть ли у данной игры решение в области смешанных стратегий, т.е. есть ли у заданной матрицы седловая точка.

   1. Найдем нижнюю цену игры :

2. Найдем верхнюю цену игры :

1. Нижняя цена игры не равна верхнее цены игры, следовательно, седловой точки у заданной матрицы выигрышей нет и решения в чистых стратегиях отсутствует. Поэтому решение необходимо искать в области смешанных стратегий.

1. Матрица имеет размерность  4 ^x 2. В этом случае строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1.

3. Ломанная  a₁₁Ka₄₂ соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок – перпендикуляр из точки K до оси x - цене игры.

Таким образом, полезными стратегиями первого игрока ( Полезные стратегии – это те стратегии, который входят в состав оптимальной смешанной стратегии) являются стратегии А1 и А4, так как точка К образована пересечением именно этих стратегий.

4. Тогда можно перейти к матрице А* 2 х 2:

	B1	B2
A1	6	5
А4	1	8

5. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока, применив формулу (6):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия первого игрока X=. Стратегии А₂ и А₃ не входят в оптимальную смешанную стратегию (это видно из рисунка), поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

6. Находим цену игры, применив формулу (7):

Проверка: цена игры должна удовлетворять следующему неравенству:

Это неравенство выполнено:

7. Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока, используя формулу (9):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия второго игрока Y=.

Ответ: Оптимальное решение находится в области смешанных стратегий. Оптимальная стратегия первого игрока X=, оптимальная стратегия второго игрока Y=, цена игры .

3.3 Задача 3

Найти решение графоаналитическим методом в смешанных стратегиях антагонистической игры с платежной матрицей первого игрока.

Решение.

1. Запишем условия задачи в следующем виде:

	B1	B2	B3	B4
A1	4	3	1	4
A2	0	3	2	1
А3	1	3	4	2
А4	1	3	5	3

2. Проверим, есть ли у данной игры решение в области смешанных стратегий, т.е. есть ли у заданной матрицы седловая точка.

   1. Найдем нижнюю цену игры :

2. Найдем верхнюю цену игры :

1. Нижняя цена игры не равна верхнее цены игры, следовательно, седловой точки у заданной матрицы выигрышей нет и решения в чистых стратегиях отсутствует. Поэтому решение необходимо искать в области смешанных стратегий.

1. Рассмотрим матрицу A на наличие доминирующих и лишних стратегий с целью упрощения матрицы игры.

1. Стратегия A₃ доминирует стратегию А₂, так как при использовании этой стратегии первый игрок (игрок А) всегда будет получать выигрыш меньше чем, если бы он использовал стратегию A₃, не зависимо от того, какую стратегию использует второй игрок (игрок B).

Математически это можно выразить так.

Определение.

В антагонистической матричной игре, заданной матрицей выигрыша первого игрока А, стратегия A_k доминирует стратегию A_l, если для справедливо:

Определение

В антагонистической матричной игре, заданной матрицей выигрыша первого игрока А, стратегия B_k доминирует стратегию B_l, если для справедливо:

Для стратегий A₃ и А₂ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий A₃ и А₂:

• k=3, l=2

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия A₃ доминирует стратегию А₂. Стратегию А₂ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

2. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3	B4
A1	4	3	1	4
А3	1	3	4	2
А4	1	3	5	3

Стратегия A₄ доминирует стратегию А_3.

Для стратегий A₄ и А₃ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий A₄ и А₃:

• k=4, l=3

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия A₄ доминирует стратегию А₃. Стратегию А₃ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

3. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3	B4
A1	4	3	1	4
А4	1	3	5	3

Очевидно, что у игрока А больше нет доминирующих стратегий.

Поэтому рассмотрим, есть ли у игрока B доминирующий стратегии.

Стратегия B₂ доминирует стратегию B₄, так как обеспечивает второму игроку меньший проигрыш при использовании этой стратегии, в отличие от стратегии B₄, не зависимо от того, какую стратегию использует первый игрок (игрок А).

Замечание: При рассмотрении антагонистических игр необходимо помнить, что матрица выигрышей первого игрока А, одновременно является матрицей проигрыша второго игрока В. Поэтому доминирующей стратегией второго игрока является та стратегия, которая обеспечивает наименьший проигрыш, не зависимо от поведения первого игрока.

Для стратегий B₂ и B₄ проверим, выполнено ли условие доминирования для всех выигрышей стратегий B₂ и B₄:

• k=2, l=4

• . Условие выполнено

• . Условие выполнено

Следовательно, условие доминирования выполнено и стратегия B₂ доминирует стратегию B₄. Стратегию B₄ можно вычеркнуть (исключить) из рассмотрения.

4. Таким образом, перейдем к следующей матрице:

	B1	B2	B3
A1	4	3	1
А4	1	3	5

В данной матрице нет стратегий, которые бы доминировали у игрока A и игрока B, следовательно, дальше матрицу упростить нельзя. Найдем решение игры графоаналитическим способом.

4. Матрица имеет размерность  2 ^x 3 (или в общем случае 2 x n). В этом случае строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 2.

5. Для поиска оптимальной смешанной стратегии первого игрока необходимо из графика определить, в какой точке достигается максимальный выигрыш среди всех минимальных.

Минимальному выигрышу соответствует ломанная a₁₃Ma₂₁.

6. Максимум на этой ломанной достигается в точке M, которая образована пересечением двух стратегий B₁ и B₃. Тогда можно перейти к рассмотрению матрицы 2 x 2:

   	B1	B3
   A1	4	1
   А4	1	5

7. Находим оптимальную смешанную стратегию первого игрока, применив формулу (6):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия первого игрока X=. Стратегии А₂ и А₃ не входят в оптимальную смешанную стратегию, так как были исключены из рассмотрения, как доминируемые, поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

8. Находим цену игры, применив формулу (7):

Проверка: цена игры должна удовлетворять следующему неравенству:

Это неравенство выполнено:

9. Находим оптимальную смешанную стратегию второго игрока, используя формулу (9):

Следовательно, оптимальная смешанная стратегия второго игрока Y=. Стратегии B₂ и B₄ не входят в оптимальную смешанную стратегию, так как были исключены из рассмотрения, как доминируемые, поэтому частота (вероятность) их использования равна нулю.

Ответ: Оптимальное решение находится в области смешанных стратегий. Оптимальная стратегия первого игрока X= , оптимальная стратегия второго игрока Y=, цена игры .