Рекомендації до розв’язання задач

При розв’язанні задач на перетворення найпростіших рухів твердого тіла рекомендується така послідовність дій:

1. виходячи з умови задачі, виписати рівняння руху або інші кінематичні співвідношення для того твердого тіла, рух якого відомо;

2. користуючись формулами кінематики точки і кінематики обертання твердого тіла навколо нерухливої осі, знайти рівняння руху іншого твердого тіла, якому передається рух, а також знайти швидкості і прискорення різних точок цього твердого тіла, використовуючи точки дотику ланок механізму.

Приклад 1

Зубчасте колесо І перебуває в зовнішньому зчепленні із зубчастим колесом ІІ. Перше колесо має діаметр D₁ = 400 мм і обертається з кутовою швидкістю ω₁ = π сек^-1 навколо нерухливої осі O₁. Визначити кутову швидкість другого колеса, якщо його діаметр дорівнює D₂ = 320 мм і воно обертається навколо нерухливої осі O₂.

Дано:

D₁ = 0,4 м

D₂= 0,32 м

ω₁ =π сек^-1

ω₁ - ?

Розв’язання

У місці зчеплення зубців обох коліс швидкості точок першого і другого коліс однакові. Позначаючи величину цієї швидкості, маємо:

V== .

Отже:

₌,

тоді:

ω₂= = =0,125 π.

Якщо колеса перебувають у зовнішньому зчепленні, то їхні кутові швидкості спрямовані в протилежні сторони: колесо І обертається проти годинникової стрілки, тому колесо ІІ обертається за годинниковою стрілкою.

Відповідь: ω₂=0,125 π.

Приклад 2.

На обід колеса з горизонтальною віссю намотаний ланцюг, до якої підвішено якір . У якийсь момент часу якір починає падати з прискоренням , приводячи в обертання колесо. Знайти повне прискорення точок обода колеса, коли якір опуститься на висоту . Радіус колеса (початкова швидкість якоря дорівнює нулю).

Прискорення будь-якої точки ланцюга, наприклад точки , належить і ободу колеса, яке робить обертальний рух і для якої прискорення якоря буде обертальним прискоренням, тому:

,

звідси:

.

Оскільки кутове прискорення стале, то обертання колеса рівноприскорене, отже, . За умовою , тому:

.

Кут повороту дорівнює:

.

Щоб визначити час опускання якоря, скористуємося співвідношенням . Підставляючи відповідні величини, маємо . Звідси .

У момент часу кутова швидкість колеса дорівнює: . Тому для доосьового прискорення точки маємо:

.

Отже, повне прискорення точки колеса дорівнює:

Відповідь: .

Плоский рух твердого тіла

а) Швидкість точок тіла (плоскої фігури).

1. Колесо котиться без ковзання по площині, нахиленій під кутом α = 30° до горизонту. Швидкість центра О колеса ν₀ = 2 м/с. Визначити швидкості кінців горизонтального діаметра і показати їх.

Відп.: ν₁ = 3,46 м/с; ν₂ = 2 м/с.

2. Через блоки А і В перекинуто мотузку (рис. 23). Кінець А₁ переміщається зі швидкістю 0,2 м/с. Обчислити кутові швидкості блоків А і В, якщо радіус кожного блока дорівнює 0,08 м.

Відп.: ω_А = 5/2 с^-1; ω_В = 5/4 с^-1.

3. Повзун С може переміщатися уздовж прямої, що перетинає вісь обертання О₁ ланки ВD (рис. 24). ОА = 0,24 м, АВ = 0,5 м, О₁В = 0,2 м. О₁D = 0,3 м, DС = 0,6 м. Визначити кутові швидкості ланок АВ, ВD, DС і швидкість повзуна С, в момент, коли α = 90°, якщо при цьому β = 60°, γ = 90°, а кутова швидкість балансира ОА дорівнює 3 с^-1.

Відп.: ω_АВ = 0,831 с^-1, ω_BD = 4.16 c^-1; ω_DC = 1,04 c^-1; ν_C = 1,394 м/с.

б) Прискорення точок тіла (плоскої фігури).

4. Колесо радіуса 0,4 м котиться без ковзання по прямолінійній рейці вправо. Швидкість центра С колеса в певний момент 1 м/с, прискорення 2 м/с². Визначити швидкість 1 прискорення точки М горизонтального радіуса колеса, якщо СМ = 0,2 м і точка М розміщена в цей момент справа від центра.

Відп.: ν_М = 1,12 м/с; а_М = 1,25 м/с².

Рис. 23 Рис. 24

5. Кривошип ОА довжиною 0,1 м (рис. 25) обертається навколо нерухомої осі О із сталою кутовою швидкістю 4π с^-1. Він приводить у рух шатун АВ довжиною 0,4 м. Визначити прискорення повзуна В у момент, коли він займе крайнє праве положення.

Відп.: а_В = 2π² м/с².

Рис. 25