Розділ 3. Теорії напруженого і деформованого стану. Основні теоретичні відомості.

Напруження є наслідком взаємодії частинок тіла при його навантажуванні. Зовнішні сили намагаються змінити взаємне розташування частинок, а напруження, що виникають при цьому, перешкоджають зміщенню частинок, обмежуючи його здебільшого деякою малою величиною.

Відповідно до гіпотези про суцільність матеріалу слід вважати, що кожну частинку тіла в скільки завгодно малому околі в усіх напрямах оточують безліч інших частинок. Розташована в даній точці частинка по – різному взаємодіє з кожною із цих сусідніх частинок. Тому в одній і тій самій точці в різних напрямах напруження різні і тільки дуже рідко коли вони однакові в усіх напрямах.

Досліджуючи напружений стан тіла в даній точці, поблизу неї, як правило, виділяють елемент об’єму у вигляді нескінченно малого паралелепіпеда, до граней якого прикладені внутрішні сили, які замінюють дію відкинутої частини тіла. Внаслідок малості виділеного елемента можна вважати, що напруження на кожній його грані розподілені рівномірно.

Досліджуючи напружений стан елементів конструкцій, найчастіше доводиться мати справу з одновісним або лінійним станом (коли тільки одне головне напруження не є нульовим, а два інших дорівнюють нулю) та двовісним або плоским станом (коли два головних нормальних напруження не є нульовими, а одне дорівнює нулю). Елементи, які перебувають в лінійному напруженому стані працюють на згинання або складний опір, але в основному на розтягання чи стискання. Плоский напружений стан буває при крученні, згинанні та складному опорі.

Лінійний напружений стан.(рис 23)

Для визначення напружень _, _ на  - площадке застосовується метод перерзів.

Рис 23

Плоский напружений стан.

Пряма задача:

В точці відомі положення головних площадок і відповідні до них головні напруження; треба знайти нормальні дотичні напруження, що діють по площадках, які нахилені під заданим кутом  до головних.

Зворотня задача: В точці відомі нормальні й дотичні напруження, які діють у двох взаємно перпендикулярних площадках, що проходять через дану точку; треба знайти головні площадки і головні напруження.

Обидві ці задачі можна розв’язати як аналітично, так і графічно.

Аналітичне розв’язання прямої задачі здійснюється за формулами:

Проаналізувати напружений стан, скориставшись простою графічною побудовою можна за наступним планом:

Розглянемо прямокутну систему координат  , тобто по осі абсцис будемо відкладати щначення головних ₁, ₂, а також нормальних _, _ напружень, а по осі ординат – значення _, _.

1. Вибравши для напружень певний масштаб, відкладемо по осі абсцис ₁ і ₂. (ОВ = ₁, ОА = ₂) Рис 24;

2. На відрізку АВ як на діаметрі будуємо коло з центром в точці С. Побудоване таким чином коло називається кругом напружень, або кругом Мора.

3. Координати точок круга Мора відповідають нормальним та дотичним напруженням на різних площадках. Так для визначення напружень на площадці, проведеній піл кутом  з точки А проводимо промінь під кутом  до перетину з колом в точці Д. (додатні кути відкладаємо проти годинникової стрілки). Координати точки Д дадуть значення для _ і _.

Рис 24