МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2003г. Председатель цикловой комиссии _______________/А.П.Пинаева /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2003г.

Практическое занятие n 7 по дисциплине математика

“Определители 2 порядка”

Курс II Специальности (технические -1201,1209)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2003 г.

Тема “Определители второго порядка”

Цель: . Научится алгоритму нахождения определителя второго порядка.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Определение определителя второго порядка . Определителем (детерминантом) второго порядка d называется число

( 1)

Числа a₁, a₂, b₁, b₂ называются элементами определителя.

Элементы расположенные по вертикали, называют столбцами определителя.

Элементы расположенные по горизонтали, называют строками определителя.

Элементы a₁ и b₂ образуют главную диагональ определителя.

Элементы a2 и b1 образуют вспомогательную диагональ определителя.

Правило нахождения определителя второго порядка .

Чтобы вычислить определитель второго порядка достаточно найти разность произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей.

Примеры: Вычислить определитель второго порядка.

1.

2.

3.

Пример: Решить уравнение.

-

Решение: Вычислим определитель второго порядка равный минус 1.

(х1)(х+3) х(х+1) = 

х²+3хх3х² = 1

х3= 1

х = 2

Ответ: 2.

2. Свойства определителя второго порядка .

1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

( 2)

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.

( 3)

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

или ( 4)

4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

( 5)

5. Если элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

или ( 6)

6. Если элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.

или ( 7)

7. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца),умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.

( 8)

Пример: Вычислить определитель второго порядка.

Решение:

а). Вынесем из первого столбца общий множитель 25:

б). Вынесем из второго столбца общий множитель (-12):

в). Вычтем из первой строки его вторую строку:

д). Вынесем из первой строки общий множитель 6:

е). Вычислим окончательно определитель:

Ответ: 3600.

3.Решение систем уравнений с двумя неизвестными с помощью определителя второго порядка.

Определитель второго порядка позволяет решать систему двух уравнений с двумя переменными.

Обозначим определители второго порядка через :

( 9),

(10),

(11)

тогда корни системы двух уравнений с двумя переменными определяются следующим образом:

(12),

(13).

полученные формулы (12) и (13) называют формулами Крамера.

Пример 1. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формуле (9) определитель D:

Следовательно система имеет единственное решение. Далее по формулам (10) и (11)

Затем по формулам (12) и (13) находим корни исходной системы:

и

Ответ: ( 3; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Приведем систему уравнений к стандартному виду

Найдем по формулам (9 - 11) определители D; D_х и D_у

Следовательно система имеет единственное решение. Далее по формулам (10) и (11)

Затем по формулам (12) и (13) находим корни исходной системы:

и

Ответ: ( 7; 0).

Если определитель D = 0, то система является либо несовместной (когда D_х# 0 и D_у#0), либо неопределенной (когда D = D_х = D_у = 0).

Условие несовместности можно записать следующим образом:

(не имеет решений) (14)

Условие неопределенности можно записать следующим образом:

(бесконечное множество решений) (15)

Пример 1. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формулам (9 - 11) определители D; D_х и D_у

Так как D = D_х = D_у = 0, то система неопределенна, следовательно она имеет бесконечное множество решений, а именно из первого уравнения 2х + 5у = 3 имеем

откуда

при у=0 следует, что

при у=1 следует, что и т.д.

Ответ: бесконечное множество решений.

Пример 2. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

Решение:

Найдем по формулам (9 - 11) определители D; D_х и D_у

Так как D = 0, а D_х 0 и D_у  0, то система несовместна, следовательно она не имеет решений.

Действительно

умножим первое уравнение системы на (2)

, откуда имеем

0х0у = 12

0 = 12 не имеет смысла.

Ответ: нет решений.

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Вычислить определитель второго порядка.

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Вычислить определитель второго порядка.

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Решить уравнение.

№ варианта	Исходное уравнение	№ варианта	Исходное уравнение
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Вычислить определитель второго порядка, используя его свойства.

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

№ варианта	Исходное уравнение	№ варианта	Исходное уравнение
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13

Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 6. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

№ варианта	Исходное уравнение	№ варианта	Исходное уравнение
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6

Контрольные вопросы:

1. Что называется определителем второго порядка ?

2. Что называется элементами определителя ?

3. Что называется столбцами определителя ?

4. Что называется строками определителя ?

5. Что называется главной диагональю определителя ?

6. Что называется вспомогательной диагональю определителя?

7. Правило нахождения определителя второго порядка .

8. Свойства определителя второго порядка .

9. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

10. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

11. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

или

12. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

13. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

или

14. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

или

15. Прочитать свойство определителя второго порядка, выраженного формулой:

16. Какое условие необходимо для единственного решения системы двух уравнений с двумя переменными ?

17. Как определяется D_х при решении системы двух уравнений с двумя переменными ?

18. Как определяется D_у при решении системы двух уравнений с двумя переменными ?

19. Как определяется корень х при решении системы двух уравнений с двумя переменными через D_х ?

20. Как определяется корень у при решении системы двух уравнений с двумя переменными через D_у ?

21. Назвать формулы Крамера.

22. При каком условии система двух уравнений с двумя переменными является несовместной через детерминанты второго порядка ?

23. При каком условии система двух уравнений с двумя переменными является неопределенной через детерминанты второго порядка ?

24. Записать условии при котором система двух уравнений с двумя переменными является неопределенной ?

25. Записать условии при котором система двух уравнений с двумя переменными является несовместной ?

26. Какое решение имеет система двух уравнений с двумя переменными если выполняется условие неопределенности ?

27. Какое решение имеет система двух уравнений с двумя переменными если выполняется условие несовместности ?

Отчет о проделанной работе.

1. Цель работы.

2. Задание.

3. Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4. Описание решения заданий.

5. Оформить карту полученных результатов (внести ответы).

6. Ответить на контрольные вопросы.

16

2

15

3

14

4

13

5

12

6

11

7

10

8

9