МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2003г. Председатель цикловой комиссии __________________/А.П.Пинаева /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2003г.

Практическое занятие n 10

(для технических специальностей)

Практическое занятие n 8

(для экономических специальностей)

по дисциплине МАТЕМАТИКА

"Вычисление неопределенного интеграла непосредственным интегрированием и методом подстановки"

Курс II Специальности (все)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2003 г.

Тема "Вычисление неопределенного интеграла непосредственным интегрированием и методом подстановки"

Цели: 1. Познакомить студентов с понятиями первообразной и неопределенного интеграла.

2. Научить алгоритму нахождения неопределенного интеграла непосредственным интегрированием.

3. Научить алгоритму нахождения неопределенного интеграла методом замены переменной.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Определение первообразной.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна f(х) т.е. .

Нахождение первообразной функции по заданной ее производной f(х) или по дифференциалу

есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции f(х) или для дифференциала называется неопределенным интегралом и обозначается символом .

Таким образом, =F(х)+С, или d[F(х)+С]=.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен

этой функции плюс произвольная постоянная:

=F(х)+С (1)

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подъинтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подъинтегральной функции:

, (2)

3. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

(3)

4. Постоянный множитель подъинтегрального выражения можно выносить за знак интеграла неопределенного интеграла:

(4)

3. Основные формулы неопределенного интеграла.

(Табличные интегралы).

1		8
2		9
3		10
4		11
5		12
6		13
7		14

При применении формул, содержащих знак абсолютной величины, этот знак используется в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

4. Непосредственное интегрирование неопределенных интегралов.

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

а) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

б) данный интеграл после применения свойств (3) и (4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

в) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подъинтегральной функцией и применения свойств (3) и (4) приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры: Найти следующие интегралы:

5. Интегрирование методом замены переменной.

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла заменяем переменную х новой переменной t с помощью постановки х=g(t). Дифференцируя это равенство, получим dх=g'(t)dt. Подставляя в подъинтегральное выражение вместо х и dх их значения, выраженные через t и dt, имеем

==

После того как интеграл относительно новой переменной t будет найден,с помощью подстановки t=g(х) он приводится к переменной х.

Дифференциалом функции у =f(х) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента т.е. .

6. Нахождение неопределенных интегралов методом подстановки.

Примеры: Найти следующие интегралы:

.

Обозначим , тогда найдем дифференциал функции, откуда , следовательно, .

Подставим найденные значения t и в исходный интеграл и, тогда получим

.

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, . Таким образом

.

.

Обозначим , далее дифференциал функции, откуда , следовательно, . Таким образом

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, . Таким образом

.

Обозначим , тогда найдем дифференциал функции, откуда , следовательно, . Итак

.

.

Обозначим , далее находим дифференциал функции, откуда , следовательно, . Таким образом

.

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, . Таким образом

.

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, .

Подставим найденные значения t и в исходный интеграл, тогда получим

.

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, . Таким образом

.

.

Обозначим , тогда , откуда , следовательно, . Таким образом

.

Задания

Задание 1. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13

Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11

Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 6. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 7. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 8. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 9. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 10. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 11. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 12. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 13. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 14. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 15. Найти следующие интегралы:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Задание 12
Задание 13
Задание 14
Задание 15

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется первообразной?

2. Какое условие необходимо для существования первообразной?

3. Какая операция называется интегрированием?

4. Что называется неопределенным интегралом?

5. Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала функции?

6. Чему равна производная от неопределенного интеграла ?

7. Чему равна производная от алгебраической суммы функций?

8. Перечислить основные свойства неопределенных интегралов?

9. Назвать основные формулы неопределенного интеграла.

10. В чем заключается сущность метода непосредственного интегрирования неопределенных интегралов.

11. В чем заключается сущность интегрирования неопределенных интегралов методом замены переменной?

12. Описать алгоритм интегрирования неопределенных интегралов методом замены переменной ?

13. Что называется дифференциалом функции у=f(х)?

14. Для чего необходимо введение новой переменной?

15. Относительно какой переменной вычисляется табличный интеграл?

Отчет о проделанной работе.

1. Цель работы.

2. Задание.

3. Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4. Описание решения заданий.

5. Оформить карту полученных результатов (внести ответы).

6. Ответить на контрольные вопросы.

20

2

19

3

18

4

17

5

16

6

15

7

14

8

13

9

12

10

11