МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

ГОУ МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикл. комиссии спец. “Естественно-научных дисц.” Протокол N____ от ________2003г. Председатель цикл. комиссии ___________/ .В.Скоробогатова /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2003г.

Практическое занятие n 14

по дисциплине МАТЕМАТИКА

"Нахождение частных производных"

Курс II Специальность (все технические)

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2003 г.

Практическое занятие № 14 " Нахождение частных производных "

Цель: Научиться алгоритму нахождения частных производных функций нескольких переменных.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Частные производные первого порядка.

Пусть дана функция от двух переменных z=f(x;y). Зафиксируем значение одного из аргументов, например, положим у=у₀= const. Тогда функция f(x;y₀) есть функция одной переменной х.

Согласно определения производной функции от одной переменной х имеем

(1)

- называют частной производной (или частной производной первого порядка) от функции z=f(х,y) по независимой переменной х в т.Р₀(х₀;у₀).

Другие обозначения частной производной по х:

( читается «дэ зет по дэ икс»)

( читается «эф штрих по икс»)

Чаще всего используется обозначение частной производной в виде .

(2)

Разность называется частным приращением по х функции z=f(х,y) т.Р₀(х₀;у₀) и обозначается , т.е.

, тогда формула (2) принимает вид

(3)

Аналогично определяется и частная производная по независимой переменной у при постоянном х

(4)

Возможно следующее обозначение частной производной по у:

( читается «дэ зет по дэ игрек»)

( читается «эф штрих по игрек»)

Разность называется частным приращением по у функции z=f(х,y) т.Р₀(х₀;у₀) и обозначается , т.е.

, тогда формула (4) принимает вид

(5)

Замечание: Выражения и нельзя рассматривать как дроби, а понимать как единое целое – символы, обозначающие частные производные.

Для частых производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования, но необходимо учитывать следующее:

- при дифференцировании по переменной х надо считать у=соnst (постоянной);

- при дифференцировании по переменной у надо считать х=соnst (постоянной).

Пример: Найти частные производные по х и у для следующей функции

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим

Рассматривая х как постоянную величину, получим

Ответ: и .

Пример: Найти частные производные по х и у для следующей функции

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим

Рассматривая х как постоянную величину, получим

Ответ: и .

Пример: Найти частные производные по х и у для следующей функции

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим

Рассматривая х как постоянную величину, получим

Ответ: и

Пример: Найти значение частной производной , если

Решение: Рассматривая у как постоянную величину, получим

Теперь найдем значение частной производной по х при х=3 и у=4:

Ответ:

Задания

Задание 1. Найти частные производные по х и у для следующей функции z=f(х,y)

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Найти частные производные по х и у для следующей функции z=f(х,y)

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9

Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Найти частные производные по х и у для следующей функции z=f(х,y)

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 4. Найти значения частных производных для следующей функции z=f(х,y) при х=2 и у=3

№ вар.	Исходные данные	№ вар.	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12

Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 5. Найти значения частных производных для следующей функции z=f(х,y) при следующих условиях

№ вар	Исходные данные	№ вар	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5

Контрольные вопросы:

1. Дать определение частной производной по независимой переменной х?

2. Как обозначаются частные производные по независимой переменной х?

3. Дать определение частного приращения по независимой переменной х?

4. Как обозначается частное приращение по независимой переменной х?

5. Как выражается частная производная по независимой переменной х частное приращение?

6. Дать определение частной производной по независимой переменной у?

7. Как обозначаются частные производные по независимой переменной у?

8. Дать определение частного приращения по независимой переменной у?

9. Как обозначается частное приращение по независимой переменной у?

10. Как выражается частная производная по независимой переменной у частное приращение?

11. Какие формулы дифференцирования используются для нахождения частных производных ?

12. Дать определение сложной функции двух переменных ?

13. Назвать формулу дифференцирования сложной функции двух переменных ?

Отчет о проделанной работе.

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4.Описание решения заданий.

5.Оформить карту полученных результатов ( внести ответы ).

6.Ответить на контрольные вопросы.

12

2

11

3

10

4

9

5

8

6

7