МИАССКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ

РАССМОТРЕНО на заседании цикловой комиссии спец. “Естеств.научн. дисциплин” Протокол N____ от ________2002г. Председатель цикловой комиссии ______________/_____________ /

УТВЕРЖДАЮ Зам.директора по УПР _______/И.В.Карпов/ “____”________2002г.

Практическое занятие n 13

по дисциплине МАТЕМАТИКА

"Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными"

Курс II Специальность 0613,1201,1209

Разработал:________/Н.И.Буяндуков/

2002 г.

Практическое занятие № 13 "Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными"

Цель: Научить алгоритму решения дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.

Оборудование: Карточки-задания, микрокалькулятор, линейка, карандаш.

Порядок выполнения практического занятия.

1. Ознакомиться с кратким теоретическим содержанием для выполнения практического занятия.

2. Выполнить предложенные задания.

3. Результаты, полученные при выполнении заданий, занести в таблицу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Краткая теория.

1. Основные понятия.

Уравнение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у и ее производную, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшего производной, входящей в данное уравнение.

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее первую производную называется дифференциальным уравнением первого порядка. Символически дифференциальное уравнение 1 порядка записывается следующим образом: F(х,y,y')=0.,где y=y(х)–искомая функция, y'=y'(х)-ее производная по х, а F-заданная функция переменных х, y, y'.

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка

- обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка

Решением дифференциального уравнения называется такая функция y=(х), которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Задача нахождения такого решения уравнения y'=f(х,y), которое удовлетворяет условию y(х₀)=y₀, где х₀,y₀ – числа, называется задачей Коши.

При решении (интегрировании) дифференциального уравнения сначала находят общее решение.

Общим решением дифференциального уравнения y'=f(х,y) называется функция y= (х,C), которая при каждом фиксированном значении С как функция от х является решением данного уравнения.

Затем, если даны конкретные числовые значения х и у, так называемые “начальные условия” находят частное решение.

Каждое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения при конкретном значении постоянной С, называется частным решением.

Для нахождения частного решения необходимо:

• подставить начальные данные в общее решение и вычислить С;

• затем полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется дифференциальным уравнением с разделяющими переменными, если его можно представить в виде:

(1)

Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение двух множителей, каждое из которых является функцией только одной переменной.

Примеры:

1) , т.к. и

2) . Преобразуем это уравнение следующим образом:

, где и .

А уравнение нельзя представить в виде (1), следовательно, оно не является уравнением с разделяющими переменными.

Уравнение (1) можно преобразовать другим образом, положив, что , и представив , то имеем

или

(2)

Уравнение (2) называют дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.

Имея уравнение с разделяющими переменными , необходимо:

1. Выполнить разделение переменных, т.е. привести уравнение (1) к уравнению (2) (иногда этот пункт не выполняется, когда уже имеется уравнение с разделенными переменными.

2.. Проинтегрировать обе части уравнения с разделенными переменными – найти общее решение данного уравнения

3. Если потребуется - найти частное решение удовлетворяющее начальным условиям.

Пример 1. Решить уравнение dу=(2х+1)dх, если х=3 y=7.

Решение. 1. В данном уравнении разделение переменных уже имеет место и поэтому будем выполнять второй этап.

2.. Проинтегрируем обе части уравнения с разделенными переменными и найдем общее решение данного уравнения

или

- общее решение дифференциального уравнения

3. Найдем частное решение удовлетворяющее начальным условиям. Для определения постоянного С подставим в полученное решение начальные условия ;х=3 и у= 7:

,.

откуда

С= - 5.

4. Подставим найденное значение С= -5 в общее решение, тогда имеем

- частное решение дифференциального уравнения.

Ответ: 1) – общее решение

2) – частное решение.

Пример 2. Решить уравнение хdу=уdх, если х=5 y=10.

Решение. 1. Выполним разделение переменных. Для этого обе части уравнения поделим на произведение ху, получим:

, тогда получим

2.. Проинтегрируем обе части уравнения с разделенными переменными и найдем общее решение данного уравнения

или

ln у=ln x + ln С.

В правой части прибавлено постоянное в виде 1n С для облегчения потенцирования. Освобождаясь от символа логарифма. т. е. потенцируя, получим Общее решение:

у=Сх.

3. Найдем частное решение удовлетворяющее начальным условиям. Для определения постоянного С подставим в полученное решение начальные условия ;х=5 и у= 10:

10=5С. откуда С=2.

Следовательно, искомое частное решение будет иметь вид:

у=2x.

Ответ: 1) у=Сх – общее решение 2) у=2x – частное решение.

Задания

Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

№ вариан.	Исходные данные	№ вариан.	Исходные данные
Вариант 1		Вариант 9
Вариант 2		Вариант 10
Вариант 3		Вариант 11
Вариант 4		Вариант 12
Вариант 5		Вариант 13
Вариант 6		Вариант 14
Вариант 7		Вариант 15
Вариант 8		Вариант 16

Задание 3. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1	, если х=1 и у=0	Вариант 9	, если х=1 и у=0
Вариант 2	, если х=0 и у=2	Вариант 10	, если х=0 и у=2
Вариант 3	, если х=2 и у=1	Вариант 11	, если х=2 и у=1
Вариант 4	, если х=0 и у=4	Вариант 12	, если х=0 и у=4
Вариант 5	, если х=2 и у=0	Вариант 13	, если х=2 и у=0
Вариант 6	, если х=0 и у=4	Вариант 14	, если х=0 и у=4
Вариант 7	, если х=2 и у=0	Вариант 15	, если х=2 и у=0
Вариант 8	, если х=3 и у=1	Вариант 16	, если х=3 и у=1

Задание 4. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения:

№ варианта	Исходные данные	№ варианта	Исходные данные
Вариант 1	, если х=0 и у=0	Вариант 9	, если х=0 и у=0
Вариант 2	, если х=0 и у=0	Вариант 10	, если х=0 и у=0
Вариант 3	, если х=0 и у=0	Вариант 11	, если х=0 и у=0
Вариант 4	, если х=0 и у=0	Вариант 12	, если х=0 и у=0

Вариант 5	, если х=0 и у=0	Вариант 13	, если х=0 и у=0
Вариант 6	, если х=0 и у=0	Вариант 14	, если х=0 и у=0
Вариант 7	, если х=0 и у=0	Вариант 15	, если х=0 и у=0
Вариант 8	, если х=0 и у=0	Вариант 16	, если х=0 и у=0

Карта полученных результатов

№ задания	Результаты выполненных заданий (ответы)
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?

2. Как записывается в общем виде дифференциальное уравнение первого порядка?

3. Что называется решением дифференциального уравнения?

4. Дать определение дифференциального уравнения с разделяющими переменными?

5. Алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющими переменными?

Отчет о проделанной работе.

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Выписать формулы, необходимые для вычислений.

4.Описание решения заданий.

5.Оформить карту полученных результатов ( внести ответы ).

6.Ответить на контрольные вопросы.

1

12

2

11

3

10

4

9

5

8

6

7