РАССМОТРЕНО
на
заседании цикловой комиссии
спец.
“Естественно-научных дисц.”
Протокол
N____
от ________2003г.
Председатель
цикловой комиссии __________________/А.П.Пинаева
/
УТВЕРЖДАЮ
Зам.директора
по УПР
_______/И.В.Карпов/
“____”________2003г.
ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ N
5
по
дисциплине
МАТЕМАТИКА
Курс
II
Специальности
(технические)
Разработал:________/Н.И.Буяндуков/
2003
г.
Цель:
1. Дать понятие множества.
2.Уметь
выполнять операции над множествами. Оборудование:
Карточки-задания, микрокалькулятор,
линейка, карандаш.
Порядок
выполнения практического занятия.
1.
Ознакомиться с кратким теоретическим
содержанием для выполнения практического
занятия.
2.
Выполнить предложенные задания.
3.
Результаты, полученные при выполнении
заданий, занести в таблицу.
4.
Ответить на контрольные вопросы.
В
окружающем мире приходится встречаться
как с отдельными объектами (предметами),
так и с их совокупностями (группами),
например,
Плотник
и бригада плотников;
Лошадь
и табун лошадей;
Картина
и коллекция картин;
Точка
и геометрическое место точек и т.д.
В
математике набор каких-либо различных
объектов, рассматриваемый как единое
целое, принимают за множество.
Совокупность
некоторых объектов, объединенных по
какому либо признаку называют множеством.
Объекты
(предметы), составляющих данное множество,
называются его
элементами
(например,
буква «к»—элемент множества
букв русского алфавита).
Элементы
множества обозначают малыми (прописными)
буквами латинского или греческого
алфавита. Например, a;
b; c; d;
….
Для
обозначения множеств
используют заглавные буквы латинского
алфавита
или запись со скобками. Например, А,
В, С,…..
Запись
A
означает, что элемент
принадлежит множеству
А, т.е.входит в это множество.
Запись
А
означает,
что элемент
не принадлежит
множеству А, т.е. не входит в это множество.
Например,
множество
однозначных чисел состоит из элементов
О, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9.
если
N—множество натуральных чисел, то
2N,
0N.
Для
записи множества с любыми элементами
используются фигурные скобки. Элементы
множества можно записать в любом
порядке; например, {2; 3; 1} и {1; 3; 2}—это
одно и то же множество, состоящее из
чисел 1, 2, 3.
Чтобы
отличать множества друг от друга, их
обозначают прописными буквами латинского
алфавита. Например, А={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8;
9}—множество однозначных чисел.
Множество
считается заданным
(известным),
если или перечислены
все его элементы, или указано такое
свойство
его элементов, которое позволяет судить
о том, принадлежит
данный элемент множеству или нет.
Итак
можно указать способы задания множества:
путем
перечисления его элементов;
путем
указания характеристического свойства
его элементов.
Если
количество элементов множества невелико
(конечно), то используют 1 способ.
Например,
-
множество всех букв, входящих в слово
КИЕВ записывают так {к; и; е; в}
-
множество однозначных положительных
цифр {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
Если
количество элементов множества большое
(бесконечное), то их трудно непосредственно
перечислить, поэтому используют 2 способ
задания множеств и записывается в виде:
{x:
………} или {x
…..} , где за двоеточием или вертикальной
чертой указываются условия, которым
должен удовлетворять элемент х,
чтобы
принадлежать рассматриваемому множеству.
Так,
например, говоря о множестве М
всех четных
чисел,
мы указываем свойство его элементов:
каждое число,
принадлежащее этому множеству, делится
нацело на
два. Это записывается так:
M
= {xN
x
Здесь
фигурные
скобки указывают на наличие множества;
знак
| (вертикальная палочка) заменяет слова
«таких, что» (или «такие, что»);
знак
«
буквой
N обозначено множество натуральных
чисел.
Буквальное
чтение этой записи таково: «Множество
М— это множество натуральных чисел х
таких, что каждое из них делится нацело
на 2». Можно прочитать и короче: «М —
множество натуральных чисел, делящихся
на 2», или «М — множество четных
натуральных чисел».
Множество,
не содержащее ни одного элемента
называется пустым
и
обозначается символом Ø.
Множества,
состоящие из одних и тех же элементов,
называются равными
(одинаковыми).
Если множества А и В равны, то пишут
А=В. '
Если
каждый элемент одного множества М
является элементом другого множества
К, то множество М называется подмножеством
(частью)
множества К. В этом случае говорят, что
М содержится в К и пишут МК.
Пример:
M={треугольник,
окружность-закрашенная}.
К={треугольник,
окружность-закрашенная,
окружность-незакрашенная, параллелограмм,
трапеция}.
В
данном примере каждый элемент множества
М принадлежит также множеству К,
следовательно, множество М является
подмножеством множества К и пишут МК.
В
силу этого определения любое множество
является своим подмножеством.
Пустое
множество можно считать подмножеством
любого множества, т.к. Ø не содержит ни
одного элемента, а значит, в нем нет
элемента, который не принадлежал бы
любому другому множеству.
Пример.
Найти все подмножества множества А = {
1; 2; 3}.
Решение:
Подмножествами данного множества
являются множества
{1},
{2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, {1; 2; 3}, Ø. Всего имеем
8 подмножеств.
Таким
образом, у любого множества А всегда
имеются два очевидных подмножества А
и Ø, которые называются несобственными.
Пример.
Найти все подмножества множества А = {
a;
b}.
Решение:
Подмножествами данного множества
являются множества
{a},
{b},
{a;
b},
Ø. Всего имеем 4 подмножеств.
Если
множество состоит из n-элементов, то
число всех подмножеств равно 2n
.
Пример.
Найти все подмножества множества А = {
a;
b;
c;
d}.
Решение:
Используя формулу множество А содержит
24=16
подмножеств.
Для
множеств можно ввести операции
арифметического сложения и умножения,
которые обладают свойствами, во многом
аналогичными соответствующим свойствам
операций сложения и умножения чисел.
Пусть
даны два множества А и В. Для пояснения
некоторых свойств используем диаграммы
Венна.
Объединением
(суммой)
множеств А и В называется такое множество
С, которое состоит из всех элементов
множеств А и В.
В
этом случае пишут С=А
Пример
1: объединением отрезков АВ и CD является
отрезок AD,
Пример
2: Даны множества А={1; 2; 3} и В={4; 5}. Найти
объединение множеств?
Решение:
Объединением множеств А и В является
С={1; 2; 3; 4; 5} т.е.
С=АUВ={1;
2; 3}U{4; 5}={1; 2; 3; 4; 5}.
Пример
3: Даны множества А1={1;
3}, А2={1;
5; 6} и А3={3;
6; 8; 10}. Найти объединение множеств?
Решение:
Объединением множеств А1,
А2
и А3
является С={1; 3; 5; 6; 8; 10} т.е.
С=А1UA2UA3=
{1; 3}U{1; 5; 6}U{3; 6; 8; 10} = {1; 3; 5; 6; 8; 10}.
Пересечением
(произведением)
множеств А и В называется такое множество
С, состоящее из всех элементов,
принадлежащих как множеству А, так и
множеству В.
В
этом случае пишут С=А
На
рис. изображены множества А и В и их
пересечение.
Для
точечных множеств (например, геометрических
фигур) смысл термина «пересечение
множеств» соответствует привычному
для нас смыслу термина «пересечение
фигур». Так, например, если прямая имеет
две точки пересечения с некоторой
окружностью, то множество, являющееся
пересечением множеств точек окружности
и прямой, состоит из двух элементов
(точек). Пересечением множеств точек
отрезков АВ и CD есть отрезок СВ.
Пример
2: Даны множества А={3; 5;
8; 17; 23} и
В={1; 5; 8;
15}. Найти пересечение множеств?
Решение:
Пересечением множеств А и В являются
общие члены, встречающиеся одновременно
в множестве А и В, которые и будут
составлять множество С={5; 8} т.е.
С=А
Два
множества, пересечение которых является
пустым множеством,
называются непересекающимися
множествами.
Разностью
множеств А и В. называется множество
С, состоящее из всех элементов множества
А, которые не принадлежащих множеству
В.
В
этом случае пишут С=А\В={x
xА
и
xВ}.,
где \ —
знак разности.
Например,
если
А={1; 2; 3; 4}.,
и В={1; 2}, то А\В={ 3; 4}.
если
А={1; 2;
3}., и В={3; 4; 5; 6}, то А\В={ 1; 2}.
если
А={1; 2; 5}.,
и В={3; 4}, то А\В={1; 2; 5}.
если
А={1; 2}., и В={1; 2; 3}, то А\В= Ø.
Если
AB,
то разность А\В называется дополнением
множества В до множества А и обозначается
В
этом случае пишут
Задание
1.
Найдите А №
варианта
Исходные
данные №
варианта
Исходные
данные Вариант
1
А={-1;
3; 4; 5}
В={0;
3; 5; 6} Вариант
9
А={1;
2; 3;
4}
В={0;
1; 2; 5} Вариант
2
А={0;
1; 7; 8}
В={-7;
0; 6; 9} Вариант
10
А={-1;
1; 2; 3}
В={0;
1; 2; 4} Вариант
3
А={1;
3; 5; 7)
В={2;
4; 6; 8} Вариант
11
А={0;
1;
3; 4}
В={-1;
0; 1; -2} Вариант
4
А={0;
1; 2; 3}
В={-1;
0; 2; 3} Вариант
12
А={-1;
3; 4; 5}
В={0;
3; 5; 6} Вариант
5
А={-1;
2; 3; 5}
В={0;
3; 4; 6} Вариант
13
А={0;
1; 7; 8}
В={-7;
0; 6; 9}
Вариант
6
А={0;
1; 6; 8}
В={-7;
0; 5; 9} Вариант
14
А={1;
3; 5; 7)
В={2;
4; 6; 8} Вариант
7
А={1;
4; 5; 7)
В={2;
5; 6; 8} Вариант
15
А={0;
1; 2; 3}
В={-1;
0; 2; 3} Вариант
8
А={0;
1; 2; 3}
В={-1;
0; 1; 3} Вариант
16
А={-1;
2; 3; 5}
В={0;
3; 4; 6}
Задание
2.
Найдите а).(A
г).
В\(А
к).
(А №
варианта
Исходные
данные №
варианта
Исходные
данные Вариант
1
А={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2}
В={4;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;4} Вариант
9
А={-7;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={7;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-7;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} Вариант
2
А={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} С={4;
3; 2; 1; 0; -1; -2} Вариант
10
А={-6;
-3; -2; -1; 0; 1; 2}
В={6;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-6;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} Вариант
3
А={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={4;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} Вариант
11
А={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-4;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} С={4;
3; 2; 1; 0; -1; -2} Вариант
4
А={-5;
-3; -2; -1; 0; 1; 2}
В={5;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-5;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} Вариант
12
А={-8;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={8;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-8;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} Вариант
5
А={-5;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-6;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} С={5;
3; 2; 1; 0; -1; -2} Вариант
13
А={-6;
-4; -2; -1; 0; 1; 2}
В={6;
5; 2; 1; 0; -1; -2} С={-6;
-4; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} Вариант
6
А={-5;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={6;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-7;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} Вариант
14
А={-9;
-4; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-9;
-4; -2; -1; 0; 1; 2} С={9;
5; 2; 1; 0; -1; -2} Вариант
7
А={-8;
-4; -2; -1; 0; 1; 2}
В={7;
5; 2; 1; 0; -1; -2} С={-5;
-4; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} Вариант
15
А={-5;
-3; -2; -1; 0; 1; 2}
В={6;
3; 2; 1; 0; -1; -2} С={-7;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4} Вариант
8
А={-5;
-4; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-5;
-4; -2; -1; 0; 1; 2} С={8;
5; 2; 1; 0; -1; -2} Вариант
16
А={-7;
-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
В={-6;
-3; -2; -1; 0; 1; 2} С={5;
3; 2; 1; 0; -1; -2}
№ задания
Результаты
выполненных заданий (ответы) Задание
1
Задание
2
Контрольные
вопросы:
1.
Какими способами можно задать множество?
2.
Какие множества называются равными?
3.
Что называется подмножеством данного
множества?
4.
Какое множество называется пустым?
5.
Что называется пересечением множеств?
6.
Какие множества называются
непересекающимися?
7.
Что называется объединением множеств?
8.
Что называется разностью множеств?
9.
Что называется дополнением множества?
10.
В каком случае разность А\В есть
дополнение множества В до множества
А?
11.
Сколько подмножеств у множества,
состоящего
1)
из одного элемента;
2)
из двух элементов;
3)
из трех элементов;
4)
из пяти элементов;
5)
из десяти элементов?
Отчет
о проделанной работе.
1.
Цель работы.
2.
Задание.
3.
Выписать формулы, необходимые для
вычислений.
4.
Описание решения заданий.
5.
Оформить карту полученных результатов
(внести ответы).
12Министерство образования рф гоу миасский электромеханический техникум
"Множества. Операции над множествами"
Тема "Множества. Операции над множествами"
Краткая теория.
1. Множество и его элементы. Подмножества.
2}.
»
читается как «делится нацело»;
2. Операции над множествами.
2.1. Объединение множеств.
В={x
xА
или
xВ}.,
где
- знак объединения.
2.2 Пересечение множеств.
В={x
xА
и
xВ}.,
где
— знак пересечения.
В={3;
5; 8;
17; 23}
{1;
5; 8;
15}={5; 8}.2.3. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
(рис. 4).
=А\В={x
xА
и
xВ}.
Задания
В,
A
B,
А\В и В\А для множеств А и В:
В)
C,
б). (А
В)
C,
в). В\(A
С),
С),
д). А\(В
С);
ж). А\(В
С);
з). А
В
C;
и). A
B
С
В)\(A
C)
для множеств А, В и С:
Карта полученных результатов
6. Ответить на контрольные вопросы.
2
11
3
10
4
9
5
8
6
7