Расчетно-графическая работа № 2 «гармонический анализ непериодических сигналов»

Цель: Освоение методики проведения анализа непериодических сигналов, расчета их основных характеристик и изучение свойств преобразования Фурье в применении к определению спектральной плотности основных видов непериодических сигналов.

Краткие теоретические сведения. Для выполнения данной работы необходимо знание следующих основных понятий и формул: прямое и обратное преобразования Фурье и их свойства; модуль и аргумент спектральной плотности; амплитудные и фазовые спектры непериодического сигнала и правила их построения; энергия непериодического сигнала и ее распределение в спектре.

Выражения, определяющие взаимосвязь между функцией сигнала и его спектральной функцией, называются парой преобразований Фурье.

(1)

(2)

Формулы (1) и (2) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Спектральная плотность импульса сигнала обладает всеми свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье. Можно записать:

S(ω) = A(ω) – jB(ω) (3)

;

(4)

Модуль и аргумент спектральной плотности соответственно являются амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристиками импульсного сигнала, и определяются:

– АЧХ; (5)

– ФЧХ. (6)

В силу своего определения АЧХ является четной функцией частоты, а ФЧХ – нечетной.

Свойства преобразования Фурье:

1. Сдвиг колебания во времени.

. (7)

Сдвиг сигнала по оси времени на произвольную величину t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектральной функции на ωt_0.

2. Изменение масштаба времени.

. (8)

При сжатии колебания в к раз по оси времени во столько же раз расширяется его спектр по оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в к раз. Очевидно, что при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

3. Смещение спектра колебания.

(9)

Умножение исходного сигнала на гармоническое колебание приводит к расщеплению его спектра на две составляющие, смещенные относительно исходного соответственно на  w₀.

4. Дифференцирование и интегрирование сигналов.

. (10)

Для производной п-го порядка и интеграла данного сигнала соответственно:

; .

Таким образом, операциям дифференцирования и интегрирования по временной области соответствует операция обычного алгебраического умножения в области частотной. При этом дифференцирующие и интегрирующие цепи можно рассматривать соответственно как обострители и сглаживающие фильтры для исходных сигналов.

5. Сложение и умножение двух колебаний.

Поскольку преобразование Фурье является линейным, то для суммы любого количества сигналов S(t) = S₁(t) + S₂(t) + S₃(t) +... их результирующая спектральная плотность будет определяться соответствующей суммой:

S(ω) = S₁(ω) + S₂(ω) + S₃(ω) +... (11)

Для произведения двух сигналов s(t) = u(t) v(t) результирующая спектральная плотность определится интегралом свертки:

(12)

Операция свертки коммутативна, т.е. S(ω) = U(ω)*V(ω) = V(ω)*U(ω).

6. Инверсия аргумента.

Для четных колебаний справедливо следующее правило: если , то .

Энергия непериодического сигнала

Энергия непериодического сигнала во временной области определяется так же, как и для периодических сигналов (см. предыдущую работу) на том интервале времени, на котором данный сигнал существует.

Равенство Парсеваля

(13)

выражает связь между энергией непериодического сигнала и его спектральной плотностью. При этом квадрат модуля спектральной плотности можно рассматривать как спектральную плотность энергии колебания.

Задание. Для предложенных в соответствии со своим вариантом видов сигналов:

1. Получить общие выражения для спектральной плотности анализируемого сигнала, ее модуля и аргумента.

2. Построить амплитудный и фазовый спектры.

3. Определить спектральную плотность для данного импульса, смещенного во времени на t₀ = 1/4t_и; для его производной и интеграла.

4. Определить спектральную плотность для импульса, сжатого или растянутого во времени с коэффициентами k = 0,5 и k = 2 и построить соответствующие амплитудные спектры.

5. Для конкретных параметров импульса определить эффективную ширину спектра. Считать, что эффективная ширина спектра определяется полосой частот от нуля до частоты, соответствующей: а) первому, б) второму; в) третьему нулю модуля спектральной плотности.

6. Определить энергию данного импульса во временной области и ее распределение в спектре.

7. Определить эффективную ширину спектра, в которой сосредоточено 90% энергии данных сигналов и сравнить результат с п.5.

Исходные данные для расчетов.

1. Прямоугольный: а) четный; б) нечетный импульсы.

2. Треугольный импульс.

3. Косинусоидальный и синусоидальный импульсы:

a) s(t) = E cos w_ot; б) s(t) = E sin w_ot.

4. Экспоненциальный импульс: s(t) = U exp (-t).

Варианты/ Параметры	1	2	3	4	5	6	7
Амплитуда, В	4	5	6	7	8	9	10
Длительность импульса, мс	0,01	0,1	1	10	100	50	20
, с-1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7

Контрольные вопросы:

1. Как можно определить физический смысл спектральной плотности?

2. Какими характерными особенностями отличаются спектральные плотности для сигналов, являющихся четными функциями времени?

3. Какими функциями частоты являются действительная и мнимая части спектральной плотности?

4. В чем принципиальное отличие амплитудных и фазовых спектров периодических и непериодических сигналов?

5. Определите значение спектральной плотности сигнала при изменении его масштаба времени с коэффициентом к = – 1 и проанализируйте полученный результат.

6. Какому виду импульсов соответствует свойство смещения спектра сигнала, используемое при умножении его функции на гармоническое колебание?

7. В чем характерная особенность спектра дельта-функции?

8. Какую роль играет фаза спектральной плотности сигнала при определении его энергетического спектра?

9. Могут ли два нетождественных сигнала обладать одним и тем же энергетическим спектром?

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3