Ряд Фурье в комплексной форме

Используя формулы Эйлера, можно получить другое симметричное и равноправное представление ряда Фурье – его комплексную форму:

(8)

(9)

(10)

Подставляя (9) в (8), получаем ряд Фурье в комплексной форме:

, (11)

где . (12)

Между амплитудами гармоник тригонометрического ряда Фурье и коэффициентами его комплексной формы существует элементарная связь:

. (13)

Энергия периодического сигнала в промежутке времени [t₁, t₂] на сопротивлении, равном 1 Ом, вычисляется по формуле:

. (14)

Среднюю мощность любого сигнала можно вычислить по формуле:

. (15)

Таким образом, средняя за период мощность периодического сигнала:

. (16)

Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что с₀ = а₀/2 и , получаем

(17)

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется мощность (средняя)

, (18)

где I₀ – постоянная составляющая тока.

Задание. Для предложенных в соответствии со своим вариантом видов сигналов:

1. Записать ряд Фурье в тригонометрической и комплексной форме.

2. Составить общие выражения для расчета тригонометрических и комплексных амплитуд и фаз гармонических составляющих данных сигналов.

3. Найти значения амплитуд и фаз первых пяти гармоник для конкретных заданных параметров анализируемых сигналов.

4. Построить графики амплитудного и фазового спектров.

5. Определить полную (среднюю за период) мощность данных сигналов и мощности, приходящиеся на постоянную составляющую и каждую из первых пяти гармоник.

6. Найти эффективную ширину спектра, в которой сосредоточено 90% полной мощности данных сигналов.

Исходные данные для расчетов.

1. Меандр: а) четный, б) нечетный.

2. Пилообразное колебание.

3. Гармоническое колебание: a) s(t) = Е /cos(t/T)/; б) s(t) = Е /sin (t/T)/.

4. Последовательность: а) четная; б) нечетная – прямоугольных униполярных импульсов.

Варианты/ Параметры	1	2	3	4	5	6	7
Амплитуда, В	4	5	6	7	8	9	10
Период, мс	2	2	3	2	4	3	4
Длительность импульса, мс	1	1	1	0,5	2	0,5	1

Контрольные вопросы:

1. Каков физический смысл постоянной составляющей периодического сигнала?

2. Существует ли различие между спектральными диаграммами периодического сигнала при использовании амплитуд гармоник тригонометрического ряда Фурье и коэффициентов комплексного ряда? Если да, то в чем оно проявляется?

3. Каковы размерности амплитудного и фазового спектров периодических сигналов?

4. Каков физический смысл квадрата нормы функции сигнала?

5. Отличаются ли между собой амплитудные и фазовые диаграммы для четных и нечетных функций одинакового вида? Если да, то как?

6. Изменятся ли амплитудные и фазовые спектры при увеличении длительности импульсов, составляющих данную периодическую последовательность? Если да, то почему и как?

7. Почему спектральные диаграммы периодических сигналов всегда дискретны?

8. Зависит ли значение средней за период энергии сигнала от его положения на оси времени, четности или нечетности описывающей его функции?

9. Определите и поясните зависимость между изменением длительности импульсов, составляющих периодическую последовательность, и количеством гармоник, приходящихся на эффективную ширину спектра сигнала.