- •Уо «Гродненский государственный университет им. Я.Купалы»
- •«Гармонический анализ периодических сигналов»
- •Ряд Фурье в тригонометрической форме
- •Ряд Фурье в комплексной форме
- •Расчетно-графическая работа № 2 «гармонический анализ непериодических сигналов»
- •«Делители напряжения и тока»
- •Делитель напряжения
- •2) Делитель тока
- •«Частотные характеристики rc-цепей»
- •«Частотные характеристики rl-цепей»
- •«Исследование последовательного резонансного контура»
- •«Исследование параллельного резонансного контура»
- •«Исследование связанных контуров»
- •«Синтез линейных фильтров»
- •Чебышевская аппроксимация задается частотным коэффициентом передачи мощности следующего вида:
Чебышевская аппроксимация задается частотным коэффициентом передачи мощности следующего вида:
,
где Тn – полином Чебышева п-ой степени, который может быть определен из рекуррентного соотношения: Tn(x) = 2xTn-1(x) – Tn-2(x), при этом T0(x) = 1 , T1(x)=x.
Полиномы Чебышева обладают следующим свойством: среди всех полиномов n-й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента, они меньше всего отклоняются от нуля для ; при они достигают резкого увеличения своих значений.
Полюса передаточной функции для Чебышевского фильтра определяются следующим образом:
1. Необходимо вычислить вспомогательный параметр:
2. Найти полюса для фильтра Баттерворта соответствующего порядка.
3. Переход к полюсам чебышевского фильтра осуществляется в соответствии с выражениями:
В отличие от полюсов фильтра Баттерворта полюса фильтра Чебышева располагаются не на окружности, а на эллипсе, но для передаточной функции отбираются они по тому же принципу.
Реализация НЧ-фильтров
Для реализации принципиальной схемы фильтра используется так называемый структурный синтез, когда цепь образуется каскадным включением звеньев, и общий частотный коэффициент передачи такого устройства определяется по формуле:
K(p)=K1(p) K2(p)... Kn(p).
Коэффициенты передачи звеньев должны реализовывать те полюса передаточной функции, которые были получены на этапе аппроксимации.
Для синтеза НЧ-фильтров требуются каскады двух видов: звенья первого порядка, которые имеют один вещественный полюс, и звенья второго порядка, которые имеют пару комплексно-сопряженных полюсов.
В качестве звена первого порядка можно использовать интегрирующую RC-цепь, частотный коэффициент передачи которой и единственный полюс определяются следующим образом:
, , .
Сопоставляя значения найденного на этапе аппроксимации нормированного полюса и конкретного для данного звена, можно определить номиналы входящих в схему элементов (один из них выбирается произвольно):
Р1=Рнωс ;
В качестве звена второго порядка можно использовать любой Г-образный четырехполюсник, содержащий R, L, C элементы, дифференциальное уравнение которого имеет соответственно пару комплексно-сопряженных корней:
L
C R
Uвх Uвых
Uвх=UL+UR ;;
.
Тогда переход от нормированных полюсов к обычным частотам осуществится по формуле: P1,2= Pн1,2ωс .
Реализация ВЧ-фильтров
Для того, чтобы на основе синтезированного ФНЧ реализовать ФВЧ с той же частотой среза, необходимо осуществить замену переменной:
В результате такой замены конденсаторы и катушки индуктивности меняются местами с соответствующей заменой номиналов.
; .
Резистивные элементы при этом остаются без изменения.
Реализация полосовых фильтров осуществляется в результате следующей замены частотной переменной, при этом частота среза соответствующего ФНЧ становится центральной частотой полосового фильтра ω0:
.
В результате такой замены:
;
.
Таким образом, ФНЧ является фильтром-прототипом, параметры которого позволяют перейти к соответствующим схемам полосовых фильтров и ФВЧ.
Задание: Для приведенных ниже в соответствии со своим вариантом исходных параметров определить:
-
Функцию частотного коэффициента передачи мощности Кр (wн) и построить ее график.
-
Полюса функции Кр (wн).
-
Передаточную функцию фильтра К(р).
-
Тип структурной схемы фильтра, соответствующей полученной передаточной функции.
-
Номиналы элементов, входящих в схему.
-
Соответствующие схемы ФВЧ и ПФ с той же частотой среза.
-
Промоделировать полученные схемы ФВЧ и ПФ в программе Electronics Workbench и построить их АЧХ.
-
Оформить полученные теоретические расчеты и графические материалы.
Исходные данные для расчетов:
Параметры /Вар. |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
4. Коэффициент неравномерности характеристики |
Чеб, 4
4*105
2
0,7 |
Бат, 5
3*104
2
- |
Чеб, 5
3*105
1
0,8 |
Чеб, 2
2*105
0,5
0,9 |
Чеб, 3
106
0,9
1 |
Бат, 3
5*104
1,5
- |
Бат, 4
2*104
1
- |
Бат, 2
2*106
0,3
- |
Бат, 6
3*106
1,2
- |
Чеб, 6
5*105
0,4
0,6 |
Контрольные вопросы:
-
Сформулируйте технические требования к АЧХ для фильтров верхних частот и полосовых.
-
По какому правилу отбираются полюса для передаточной функции четырехполюсника?
-
Можно ли, зная порядок фильтра, определить количество необходимых для него звеньев?
-
Из каких соображений осуществляются замены элементов при переходе от ФНЧ к ФВЧ и ПФ? Какое условие должно выполняться при таких заменах?
-
Четырехполюсники какого типа можно использовать в качестве звеньев второго порядка при синтезе фильтров?
-
Как соотносятся между собой полюса нормированной частоты, полученные на этапе аппроксимации, со значениями полюсов реального четырехполюсника?
-
Как значение влияет на вид АЧХ фильтра Чебышева?
-
Как изменяется АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева с ростом порядка фильтра?