- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
-
Использование производной в задачах прикладного характера.
Задача 1. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объём при данной полной поверхности S.
Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен x, а высота равна y.
Тогда
Следовательно, объём цилиндра выразится так:
Задача сводится к исследованию функции V(x) на максимум при x > 0.
Н
и
приравняем её к нулю, откуда
Найдём
П
выполняется
условие
,то
объём имеет,
наибольшее
значение причем
т.е осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.
Ответ: Цилиндр с квадратным сечением имеет наибольший объём при данной полной поверхности S.
План действий при решении задач прикладного характера.
-
Обозначить некоторую неизвестную величину прикладной задачи переменной x.
-
Записать ту величину, которая должна быть по условию наименьшей ( наибольшей ) как функцию переменной x.
-
Исследовать полученную функцию на экстремум, используя производные 1-го порядка и второго порядка, найти значение x, соответствующее точке экстремума исследуемой функции.
-
Записать ответ, вернувшись к прикладному значению x.
-
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на сегменте -2; 2
Решение: Найдём критические точки и исследуем их на экстремум.
В точке x=0 функция имеет максимум, равный f(0)=3.
В каждой из точек x=-1 и x=1 функция имеет минимум, равный f (-1)=f (1)=2
Найдём значения функции на концах сегмента :
Итак , наибольшее значение равно 11, а наименьшее 2.
Задача . Найти радиус кривизны и координаты центра кривизны кривой в точке А (0; 1).
Решение: Радиус кривизны вычисляется по формуле:
Дважды дифференцируя данную функцию, находим
Вычислим значения производных у' и у" в заданной точке А (0; 1), т.е. при x = 0; имеем y¢(0) = 2; y¢¢ (0) = - 4.
Тогда радиус кривизны:
Для нахождения координат центра кривизны С(xс; yс] воспользуемся формулами:
Подставив в эти формулы координаты точки А и найденные значения производных, получим:
Итак, точка С (5/2; -1/4) — центр кривизны.
Кривая , точка А (0; 1), центр кривизны С (5/2; -1/4) и радиус кривизны R»2,8 .
Задача. Найти радиус кривизны кривой r = a sin3 j (трех лепестковая роза) в точке A (p/6; а).
Решение. Если кривая задана в полярной системе координат уравнением r=f (j), то радиус кривизны вычисляется по формуле:
Дважды дифференцируя данную функцию r= a sin 3j , найдем
Вычислим значения производных r¢ и r¢¢ в точке A (p/6;a), т.е при j=p/6 и r =a.
Имеем: r¢ (p/6)=0 и r¢¢ (p/6)=-9a. Подставив в формулу r =a, r¢=0 и r¢¢=9a, получим