Глава 2
2.1 Основные определения
Теория нечетких множеств представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики, которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики, которая предложила инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач.
Подход
к формализации понятия нечеткого
множества состоит в обобщении понятия
принадлежности. В обычной теории множеств
существует несколько способов задания
множества. Одним из них является задание
с помощью характеристической функции,
определяемой следующим образом. Пусть 
—
так называемое универсальное множество,
из элементов которого образованы все
остальные множества, рассматриваемые
в данном классе задач, например множество
всех целых чисел, множество всех гладких
функций и т.д. Характеристическая функция
множества 
—
это функция 
,
значения которой указывают, является
ли 
элементом
множества A:
Особенностью этой функции является бинарный характер ее значений.
С точки
зрения характеристической функции, нечеткие
множества есть
естественное обобщение обычных множеств,
когда мы отказываемся от бинарного
характера этой функции и предполагаем,
что она может принимать любые значения
на отрезке [0,1].
В теории нечетких
множеств характеристическая
функция называется функцией
принадлежности,
а ее значение 
— степенью
принадлежности элемента x нечеткому
множеству A.
Более строго, нечетким множеством A называется совокупность пар
Где
—
функция принадлежности, т.е.
.
Пусть,
например,
Будем говорить, что элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.
Пример. Пусть
универсум U есть
множество действительных чисел. Нечеткое
множество A,
обозначающее множество чисел, близких
к 10 (см. рис.1.1), можно задать следующей
функцией принадлежности:
,
где 
.
Рис. 1.1.
Показатель
степени m выбирается
в зависимости от степени близости к 10.
Например, для описания множества чисел,
очень близких к 10, можно положить
;
для множества чисел, не очень далеких
от 10, 
.
Пример. Коротко остановимся на понятии лингвистической переменной (более детальное изучение будет в последующих лекциях). Лингвистическую переменную можно определить как переменную, значениями которой являются не числа, а слова или предложения естественного (или формального) языка. Например, лингвистическая переменная "возраст" может принимать следующие значения: "очень молодой", "молодой", "среднего возраста", "старый", "очень старый" и др. Ясно, что переменная "возраст" будет обычной переменной, если ее значения — точные числа; лингвистической она становится, будучи использованной в нечетких рассуждениях человека.
Рис.
1.2.
Каждому значению лингвистической переменной соответствует определенное нечеткое множество со своей функцией принадлежности. Так, лингвистическому значению "молодой" может соответствовать функция принадлежности, изображенная на рис. 1.2