Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра Алгебры

Курсовая работа

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА

Работу выполнила

студентка 122 группы Математического факультета

Дубровских Светлана Сергеевна

_____________________

(подпись)

«Допущен к защите» Руководитель кандидат физ-мат Руководитель____________ наук, доцент кафедры алгебры

(подпись) Алябьева Валентина Георгиевна

«___»__________2011 г.

Дата защиты «___»_______2011 г.

Оценка_______________________

Руководитель__________________

(подпись)

Пермь

2011

Оглавление

Министерство образования и науки Российской Федерации 1

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ 1

Кафедра Алгебры 1

БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА 1

Оглавление 2

Введение 3

Глава 1 4

1.1 Бинарные отношения 4

1.2 Операции над отношениями 9

1.3 Свойства отношений 16

1.4 Инвариантность отношений 21

1.5 Отношение эквивалентности 22

1.6 Классы эквивалентности 24

Глава 2 29

2.1 Основные определения 29

2.1 Операции над нечеткими множествами 32

Заключение 35

В этой работе были рассмотрены: 35

Приложения 38

Введение

Работа называется «Бинарные отношения и нечетные множества». Она состоит из двух глав.

В первой главе вводится понятие бинарного отношения, определяются свойства бинарных отношений и операции над ними. Среди всех отношений выделяются отношения эквивалентности, которые рассматриваются в связи с разбиением множеств на классы.

Во второй главе даются основные определения, связанные с нечеткими множествами и некоторые операции с ними.

Глава 1

1.1 Бинарные отношения

Исследователя окружающего мира интересуют различные свойства объектов: свойства, относящиеся к отдельным объектам (например, "быть женщиной", "иметь форму правильного пятиугольника", "быть сделанным из металла", "быть голубым", "иметь низкую теплопроводность") и свойства, характеризующие связи между несколькими объектами (например, свойства "быть родственниками" и "быть больше" относятся к парам объектов, свойство "находиться между" - к тройкам объектов, свойство "располагаться в вершинах квадрата" - к четверкам объектов). Такие свойства принято называть отношениями. При этом свойства отдельных объектов называются унарными отношениями, свойства, относящиеся к парам объектов, - бинарными отношениями, свойства, относящиеся к наборам из n объектов, - n-арными отношениями. Ниже мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных отношений.

Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n-арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.

Введем необходимые определения.

Определение 1.1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x X, yY.

Определение 1.2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения XY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Пример 1.1. Пусть X ={a, b, c, d}, Y ={1, 2, 3, 4, 5}. Тогда множество кортежей α={(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)} являются соответствием из X в Y.

Отметим, что обычно соответствия задаются не путем указания подмножества α декартова произведения XY , а путем указания свойства пар (x, y), принадлежащих этому подмножеству α. Например, отношение α= {(4, 4), (3, 3), (2, 2), (4, 2)} на множестве X = {4, 3, 2} можно определить как свойство "Делиться нацело" на этом подмножестве целых чисел.

Хорошо известными примерами отношений из школьного курса математики являются:

• на множестве целых чисел Z отношения "делиться", "делит", "равно", "больше", "меньше", "взаимно просты";

• на множестве прямых пространства отношения "параллельны", "взаимно перпендикулярны", "скрещиваются", "пересекаются", "совпадают";

• на множестве окружностей плоскости "пересекаются", "касаются", "концентричны".

Факт принадлежности кортежа (x, y) соответствию α, часто обозначают с помощью так называемой инфиксной формы записи: xαy. Типичными примерами таких записей из курса математики являются: x > y, a = b, 84, m||l, ab и т. п.

Отношения могут задаваться формулами:

• формулы y= x²+5x-6  или   задают бинарные отношения на множестве действительных чисел;

• формула x+y=любовь, задает бинарное отношение на множестве людей. Этому отношению принадлежит любая пара людей, между которыми существует любовь.

Задание отношений в виде формул достаточно широко распространено. Об этом свидетельствуют многочисленные надписи на деревьях заборах или стенах домов типа:

"Вася + Таня = любовь",

увековечивающие принадлежность конкретной пары (Вася, Таня) отношению "любовь".

Рассмотрим еще три формы представления бинарных отношений: матричное представление и два графических представления. В качестве носителя отношения для иллюстрирующих примеров будем использовать множество X = {a, b, c, d, e}.

Вначале рассмотрим метод, восходящий к аналитической геометрии. Начертим пару взаимно перпендикулярных осей (OX - горизонтальная ось, а OY - вертикальная ось) и на каждой отметим точки, представляющие элементы множества X (рис. 1).

Рис. 1. Координатная сетка

Считая метки a, b, c, d, e координатами точек на горизонтальной и вертикальной осях, отметим на плоскости точки с координатами (x, y) такими, что (x, y)  . На рисунке 2 изображено множество точек, соответствующее отношению α= {(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}.

Рис. 2. Бинарное отношение α

Другой широко распространенный способ представления отношений основан на использовании ориентированных графов. При таком представлении элементы множества X изображаются вершинами графа (точками плоскости), а элементы (x, y) отношения α дугами (стрелками), соединяющими первую компоненту x отношения со второй компонентой y. Граф бинарного отношения α изображен на рисунке 3.

Рис. 3. Граф бинарного отношения

Для бинарных отношений, определенных на конечных множествах, часто используется матричный способ задания. Пусть на некотором конечном множестве X задано отношение a. Упорядочим каким-либо образом элементы множества X ={x₁, x₂,..., x_n} и определим матрицу отношения A =[a_ij] следующим образом:

Таким образом, матрица отношения α, представленного графом на рисунке 3, имеет вид

Часто матрицу отношения называют булевой, чтобы подчеркнуть, что ее элементами являются только нули и единицы.