1.Расчет балки I(рис.22а)

- Определение опорных реакций R_А = R_в = F/2= 9 kН;

- Определение поперечной силы Q_А = R_А = 9 kН (ход слева);

Q^лев_{сеч F} = R_А= 9 kH; Q^прав_{сеч F} = R_А - F = 9 -18 = -9kН;

О_B = R_B = - 9 kH (ход справа);

- Определение изгибающих моментов. Для данного нагружения балки максимальный изгибающий момент находится посередине пролета и может быть вычислен по формуле

М_х = F I₁ /4 = 18 ^. 5/4 = 22,5 kHм; М_А = 0; М_в = 0.

Строим эпюры М_х и Q_Х по найденным величинам (рис.22б,в)

Рис.23 Рис.24

2.Расчет балки II должен быть произведен с учетом силы давления на неё в точке В от балки I, равной и противоположно направленной опорной реакции R_в (рис.23а).

- Определение опорных реакций

ΣМ_С = - R_в ^. 2 + q ^. 7 ^. 1,5 – R_D ^. 5 = 0;

R_D = (- R_в ^. 2 + q ^. 7 ^. 1,5) /5 = 17,4 kH;

ΣМ_D = - R_в ^. 7 - q ^. 7 ^. 3,5 + R_с ^. 5 = 0;

Rс = (R_в ^. 7 + q ^. 7 ^. 3,5) / 5 = 61,6 kH.

Проверка ΣY = - R_в + R_с - q ^. 7 + R_D = - 9 + 61,5 - 70 + 17.6 = 0;

- Определение поперечной силы

Ход слева: Q_в^прав = - R_в = - 9 kH;

Q_c^лев = - R_в - q ^. 2 = - 9 - 20 = - 29kН;

Q_c^прав = Q_с^лев + R_с = - 29 + 61,6 = 32,6 kН;

Ход справа: Q_D^лев = - R_D = - 17,4 kH;

Qс^прав = Q_D^лев + q ^. 5 = - 17,4 + 50 = 32,6 kН.

По найденным значениям строим эпюру Q_х (рис.236). Находим расстояние х от опоры С до точки К, в которой поперечная сила равна нулю, так как именно этому сечению на эпюре изгибающих моментов соответствует вершина параболы.

Ход слева : Q_к = - R_в - q (2 + х) + R_с = 0;

- 9 – 10 (2 + х) + 61,6 = 0;

10х = 32,6;

х= 3,26 м.

- Определение изгибающих моментов

Ход слева : М_в = 0; М_с = - R_в ^. 2 - q ^. 2 ^. 1,0 = - 38 kHм;

Ход справа: M_D = 0; М_К = R_D (5 - х) - q ((5 - х)²/ 2) = 15,2 kHм.

По найденным значениям строим эпюру М_х (рис.23в).

З.Расчет балки III должен быть произведён с учетом силы давления на неё в точке D от балки II, равной и противоположно направленной опорной реакции R_D (рис.24а).

- Определение опорных реакций

ΣМ_Е = - R_D ^. 1- q ^. 1 . 0,5 – R₁ ^. 3 = 0;

R₁ = (- R_D ^. 1 - q ^. 1 ^. 0,5) / 3 = - 7,5 kН;

ΣМ_L = - R_D ^. 4 – q ^. 1 ^. 3,5 + R_Е ^. 3 = 0;

R_Е= (R_D ^. 4 + q ^. 1 ^. 3,5) /3 = 34,9 kH.

Проверка ΣY = R_L + R_Е - q ^. 1 ^. R_D = -17,4 - 10 + 34,9 - 7,5 = 0;

- Определение поперечной силы

Ход слева: Q_D^прав = - R_D = -17,4 kН;

Q_Е^лев = Q_D^пpав - q ^. 1 = -17,4 - 10 = - 27,4 kН;

Q_Е^прав = Qе^лев + R_Е = - 27,4 + 34,9 = 7,5 kН;

Ход справа : Q_L ^лев = - R_L = - (-7,5) = 7,5 kН.

По найденным значениям строим эпюру О_х (рис.246).

• Определение изгибающих моментов

Ход слева: М_D = 0;

Ход справа: М_L = 0; М_Е = R₁ ^. 3 = - 22,5 kHм.

По найденным значениям строим эпюру М_х (рис.24в).

Для построения общих для всей шарнирной балки эпюр М_х и О_х необходимо эпюры, полученные выше для каждого элемента в отдельности, расположить на одной оси, вычертив их в одном масштабе (рис.21в,г).

Алгоритм и пример решения задачи №4.

Определение силы в стержнях фермы может быть определено аналитическим и графическим способами. Фактически задача №1 контрольной работы №1 представляет собой аналитический расчет фермы. В основу этого способа положены методы теоретической механики: определение опорных реакций фермы, определение сил методом вырезания узлов в стержнях, определение сил методом сечений в стержнях. Один из видов этого метода - способ моментных точек и был применён при определении сил в стержнях. В результате изучения темы «Статически определимые плоские фермы» должны быть приобретены навыки определения сил в стержнях фермы и графическим способом.

Условие задачи: Определить силы в стержнях статически определимой фермы (рис.25а) путем построения диаграммы Максвелла - Кремоны.

Рис. 25

Решение. Чертёж фермы необходимо выполнить, четко соблюдая заданные размеры в принятом масштабе. Приложим заданные внешние силы F₁ и F₂ и опорные реакции R_АХ и R_BX. Плоскость чертежа между внешними приложенными силами - внешние поля, обозначим а,b,с,е,d, обходя ферму по часовой стрелке. Плоскость чертежа, ограниченную стержнями, - внутренние поля обозначим цифрами 1,2,3. В дальнейшем каждую внешнюю и внутреннюю силу будем обозначать двумя значками, соответствующими наименованию тех смежных полей, границами которых они являются, называя эти буквы в порядке обхода фермы по часовой стрелке. Так, сила F₂ будет обозначаться а - b. Сила в стержнях фермы - либо двумя цифрами, либо буквой и цифрой по наименованию смежных полей, соблюдая при этом правило обхода узла по часовой стрелке. Так, сила стержня ЕС будет обозначаться b - 1 или (1 - b), смотря но тому, какой узел мысленно вырезаем - узел Е или узел С. Первая буква или цифра в обозначении силы в стержне та, которая встречается первой при обходе узла по часовой стрелке. Выбираем масштаб сил. Например, 5 kН /cm (5 кН в одном сантиметре). От произвольной точки а в принятом масштабе откладываем внешнюю силу а - b (рис.25 б), затем b - с; от точки с вертикально вверх откладываем реакцию с - е. Так как сумма значений сил F₁ и F₂ равна значению силы R_BY, точка - е совпадает с точкой а . Затем из точки е проводим прямую, параллельную R_BX , и откладываем от неё реакцию d - е и, наконец, из точки d в обратном направлении откладываем реакцию d - а . В результате получаем замкнутый силовой многоугольник аbсеdа. Далее, последовательно рассматривая узлы, строим диаграмму сил, возникающих в стержнях.

Построение диаграммы начинаем с узла С, где сходятся лишь два стержня, стержни этого узла расположены между тремя полями: двумя буквенными и одним цифровым. На силовой линии есть уже точки, соответствующие буквенным полям. Проводим через точку с прямую, параллельную стержню с -1, а через точку b - прямую, параллельную стержню 1 - b. Пересечение этих линий дает точку 1, соответствующую внутреннему полю между рассматриваемыми стержнями и примыкающему к рассматриваемому узлу. Строим точку 2. Цифра 2 входит в название стержней с - 2 и 2 - 1, принадлежащих узлу D. Узел D можно вырезать, так как силы в двух стержнях неизвестны, а в третьем - найдены при рассмотрении первого узла. Из точки 1 диаграммы проводим линию, параллельную стержню 2 - 1, а из точки С - линию, параллельную с - 2. Точка 2 совпадает с точкой 1. это означает, что сила в стержне 2 - 1 равна нулю. Вырезаем узел Е, где сходится четыре стержня, в двух из них силы можно определить по диаграмме, а в двух (2 - 3, 3 - а ) неизвестны. Строим точку 3 для этого из точки 2 проводим прямую, параллельную стержню 2 - 3, а из точки а параллельную 3 - а .На их пересечении получаем точку 3.

Значения сил в стержнях определяем, измеряя длины линии на диаграмме с учетом принятого масштаба сил. Знак силы определяется следующим образом : начнем с узла С, обходя его по часовой стрелке. Прочитывая на диаграмме обозначение стержня 1 - b, делаем движение по линии, обозначающей силу в стержне от одной точки к другой в соответствии с названием. Это движение переносим на стержень фермы, совмещая начало движения с рассматриваемым узлом. Это движение при этом направлено по стержню от узла, стержень считается растянутым, а если к узлу - то сжатым. Итак, 1 – b - от узла, стержень растянут, N = 20 kН; 1 - 2 - стержень не работает, N = 0; c – 2 - к узлу, стержень сжат, N = 20 kН; 2 - 3 - к узлу, стержень сжат, N = 13 kН; 3 - а - от узла, стержень растянут, N = 24 кН и т.д.

Алгоритм и пример решения задачи №5.

Рамные системы широко применяют в железобетонных, металлических и деревянных конструкциях. Одно - и многоэтажные рамы используют при возведении фабрично - заводских корпусов, общественных зданий, складов, башен элеваторов, мостов, трибун стадионов, для установки механизмов, при устройстве набережных и т.д.

Определение поперечной силы, изгибающего момента, продольной силы, действующих в сечениях рамы, и построение их эпюр является начальной стадией расчета рамных конструкций.

К решению данной задачи можно приступить после изучения темы «Статически определимые плоские рамы». Необходимо иметь в виду, что изучение этой темы невозможно без твёрдых навыков и прочных знаний по теме « Изгиб прямого бруса».

Условие задачи: Для статически определимой рамы построить эпюры Qх, M_X и N. Проверить равновесие узла (рис.26).

Для рам консольного типа эпюры Q_x, М_х и N могут быть построены без определения опорных реакций заделки, если начинать эти построения со стороны свободного конца.

Условимся при расчете рамы мысленно ставить себя на плоскость чертежа внутрь рамы. Тогда, повернувшись лицом к сечению, в котором определяется внутренний силовой фактор или относительно которого составляется уравнение равновесия, легко представить себе, какую часть рамы следует считать левой, а какую правой. В этом случае при определении внутренних силовых факторов для рам становится возможным пользоваться правилами, применяемыми при построении эпюр для балок.

Рис. 26

Решение: Построение эпюры Q. За ось абсцисс принимаем ось любого стержня. Перпендикулярно ей мысленно проводим ось ординат и проецируем на неё силы, действующие соответственно слева и справа от рассматриваемого сечения, учитывая правила знаков.

Ригель ВС. Ход справа. Поперечную силу определяем по характерным точкам (аналогично простым балкам).

Qв = 0;

Q_D^прав = q (1 /2) = 4 kH;

Q_D^лев = Q_D^прав + F = 9 kH;

Q_C = Q_D^лсв = 9 kН.

Стойка АС. Повернёмся лицом к стойке, проведём мысленно ось перпендикулярно оси стойки и спроецируем на неё силы ходом справа: Q_C = 0; Q_А = 0. Изобразим полученные результаты графически. Проведем ломаную линию АВС (рис.266) и от неё, как от нулевой линии, отложим вычисленные ординаты эпюры поперечных сил. Положительные ординаты эпюры для ригеля откладываются вверх от нулевой линии и влево от нулевой линии для стойки. Отрицательные соответственно вниз и вправо от нулевой линии.

Построение эпюры М (рис.26в). Изгибающий момент в сечениях рамы определяем также по характерным точкам ходом справа (со свободного конца).

Ригель ВС. М_B = 0;

М_D = - q(1²/8) = -4 kH m;

М_C = - F / 2 - q ^. 1/2 ^. 3/41 = - 22 kН m.

Стойка АС. Как и при определении поперечной силы, при переходе от ригеля к стойке повернёмся на 90° , лицом к стойке. Точка С принадлежит одновременно и ригелю и стойке, поэтому М_с^стоики = М_с^риг = - 22 kH m. Так как в данной задаче непосредственно к стойке не приложены внешние нагрузки, а плечи сил F и Q остаются неизменяемыми, то в любом сечении от С до А изгибающий момент один и тот же. М_A = М_C =- 22 kН m. При построении эпюры изгибающих моментов (как и в балках) положительные ординаты откладываем со стороны растянутых волокон.

Построение эпюры N (рис.26г). Определяя продольную силу, проецируем заданные силы на ось абсцисс, совмещая её сначала с ригелем, затем со стойкой. Продольная сила в любом сечении ригеля равна нулю, N_CB = 0, так как справа от сечения действует нагрузка, перпендикулярная его оси. Продольная сила во всех сечениях стойки постоянна, так как сама стойка не нагружена и на ось стойки дают проекцию силы F и 2q. N_CА = - F – 2q = - 9 кН. Ординаты эпюры продольных сил откладываем симметрично по обе стороны от оси рассматриваемого элемента. Знак плюс, поставленный на эпюре 14, соответствует деформации растяжения, знак минус - сжатия.

Для проверки правильности построения эпюр рассмотрим равновесие узла С. Для этого мысленно вырежем этот узел, проведя два сечения на бесконечно близком расстоянии, в ригеле справа от узла, в стойке - слева от него.

Вырезанный таким образом узел дает возможность, рассматривая сечение в ригеле, считать узел отнесённым к левой части ригеля, а при рассмотрении сечения в стойке - к правой части стойки. Прикладываем к узлу С внутренние силовые факторы Q_X, М_X и N беря их значение с эпюр с учетом знака, показывающего направление их действия (рис.26д).

Из эпюры Q_X видим, что поперечная сила в сечении С ригеля положительна. Поскольку точка С относится к левой части рамы (согласно принятому ранее), Q_риг согласно правилу знаков направляем вниз. На стойке поперечная сила отсутствует.

Из эпюры М_X видим, что изгибающий момент вызывает растяжение верхних волокон. Следовательно, с учетом правила знаков в ригеле изгибающий момент Мс направляем по часовой стрелке, а в стойке (узел С относим к правой части рамы) - против часовой стрелки. Продольная сила N_CA вызывает в сечении сжатие и. следовательно, должна быть направлена в сторону этого сечения.

Для равновесия узла должны соблюдаться следующие условия:

ΣX_i = 0; ΣV_i = 0; ΣМ_С = 0.

Составим эти уравнения, направив ось X вправо, а ось V вертикально вверх :

ΣX_i = 0 ; ΣV_i = N_ст - Q_риг = 9 - 9 = 0;

ΣМс = М^стойки - М^риг = 22 - 22 = 0.

Условия равновесия соблюдаются. Следовательно, внутренние силовые факторы определены правильно.