Методические указания по выполнению контрольной работы № 2.

Рекомендуется прочитать методические указания, прежде чем приступить к выполнению контрольной работы.

Алгоритм и пример решения задачи № 1.

Прежде чем приступить к решению задачи 1, следует изучить тему 2.2. Цель задачи: а) научить определять продольную силу и нормальные напряжения в сечении ступенчатого бруса (стержня) при действии на него нескольких внешних сил; б) научить строить эпюры N и о, т. е. графики изменения продольной силы N и нор­мального напряжения σ по длине бруса.

Условие задачи. По оси стального ступенчатого стержня (рис. 14,с) приложены силы F₁ и F₂ значения которых, а также площади поперечных сечений и длины участков указаны на рисунке. Постро­ить эпюры продольных сил и нормальных напряжений и определить полное удлинение стержня. Модуль продольной упругости материа­ла стержня E = 2·10⁵ МН/м².

Решение. Верхний конец стержня (рис. 14) жестко заделан. Нижний конец свободен. Прежде чем приступить к определению вну­тренних сил, разбиваем стержень на отдельные участки начиная со свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или в которых изменяются размеры попе­речного сечения стержня. Рассмотрим брус по высоте. Первый учас­ток АВ от точки приложения силы F₁, т. е. от нижнего торца бруса до сечения, в котором происходит изменение его размеров. Второй участок ВС до сечения, в котором приложена сила F₂. Третий уча­сток СВ от места приложения силы F₂ до заделки.

Пользуясь методом сечений, определяем значения внутренних продольных сил в сечениях стержня. Поскольку нижний конец не закреплен, удобнее начинать именно с него, не определяя реакций заделки стержня.

Проводим сечение I - I в пределах первого участка. Необходи­мо представить сечение I - I как бы скользящим, что позволяет про­сматривать участок по высоте стержня.

Мысленно отбросим верхнюю часть до. сечения I - I (рис. 14,6) и, рассматривая оставшуюся нижнюю часть в состоянии равновесия, составим уравнение проекций сил на ось у: N₁ – F₁ = 0, откуда N₁ = 150кН = 0,15 МН.

Продольная сила положительна, следовательно, на участке АВ имеет место растяжение.

Проводим сечение II - II на участке ВС стержня и отбросим верхнюю часть (рис. 14, в). По аналогии с предыдущим записываем уравнение равновесия N₂ - F₁ = 0 и находим из него N₂ =150 кН = 0,15 МН. Участок ВС также растянут.

Проводим сечение III - III на участке СD и отбрасывая верх­нюю часть стержня (рис. 14,г), запишем уравнение равновесия нижней части: N_a + F₂ – F₁ = 0, отсюда N_a = F₁ – F₂ = 150 -200 = -50 кН = - 0,05 МН.

Продольная сила отрицательна, а следовательно, третий учас­ток стержня сжат.

Зная продольную силу на каждом из трех участков, определим значения нормальных напряжений, имея в виду, что A₁ = 18 см² = 0,0018 м²; A₂ = 12 см² = 0,0012 м²:

σ₁ = = 83,3 МПа (растяжение);

σ₂ = = 125 МПа (растяжение);

σ₃ = = - 41,7 МПа (сжатие).

По найденным значениям N и σ строим их эпюры (рис. 14, д, е). Для этого проводим две прямые (базовые линии), параллельные оси стержня. Каждой точке этой прямой соответствует определен­ное сечение стержня. Считая прямые за нулевые линии, откладыва­ем вправо и влево от них соответственно положительные и отрицательные значения N и σ. Знаки на эпюрах ставятся обязательно. Подписываем значения отложенных ординат. Эпюры штрихуются линиями, перпендикулярными нулевой линии. Длина каждого штри­ха выражает значение той или другой величины в соответствующем сечении стержня бруса.

Определяем полное удлинение стержня

Δl = Δl₁ + Δl₂ + Δl₃ =

Подставив числовые значения, получим

Δl =

Алгоритм и пример решения задачи № 2.

Условие задачи. Для двухопорной балки (рис. 20, а) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости R= 210 МПа

R_ср = 130 МПа, n = 1,3; m = 1,1. Модуль упругости Е=2,1/10⁵ МПа. Предельно допустимый относительный прогиб f_преД/i = 1/400. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечений с наибольшим .изгибающим моментом. и с наибольшей поперечной силой.

Решение.

1. Подбор сечения из условия прочности.

Расчетная нагрузка q_Р = q^нn = 10·1,3 = 13 кН/м. F_р = F^нn = 15·1,3 = 19,5 кН.

Схема балки с рас­четной нагрузкой изобра­жена на рис. 20,5. Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент в сечении посе­редине пролета. Опреде­ляем его как сумму мо­ментов от действия рав­номерно распределенной и сосредоточенной нагру­зок, используя готовые формулы:

M_max = кН·м = 0,065 мН·м

Строим эпюру моментов по трем точкам: М_А = 0; М_С = 65 кН·м; М_В = 0 (рис. 20, в). Из условия прочности при изгибе

σ =

Определяем W_тр - требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки;

W_тр ≥ м³ = 281 см³.

По таблице сортамента принимаем двутавр № 24 W_x = 289 см³ (при­ложение 3).

2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помо­щью таблицы прогибов (приложение 6).

Рис.20 Второе предельное состояние конструкции характеризуется появлением чрезмерных прогибов и требует определенной жесткости, чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прогиб f/l не превышал предельно допустимого относительного прогиба f_пред/l, установленного строительными нормами (СНиП) для различных конструкций и материалов.

Условие жесткости записывается в виде

Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке,- а не по расчетной, т. е. без учета коэффициента перегрузки. Из таблицы приложения 6 для данного загружения балки наибольший по абсолютной величине прогиб определяется по формуле

F =

В результате

Отсюда выражаем требуемый момент инерции сечения

I_тр ≥

Подставляя числовые значения, получим

I_тр = = 0,0001055 м⁴ = 10550 см⁴.

Из таблицы сортамента подбираем двутавр № 36 I_x= 13,380 см⁴. Принятый из условия прочности двутавр № 24 имеет I_x = 3460 см⁴, что недостаточно по условию жесткости. Таким образом, в данном случае решающим условием при подборе сечения является условие жесткости. Окончательно принимаем двутавр № 36.

3. Определим наибольшие нормальные напряжения в сечении балки с максимальным изгибающим моментом. Из расчета М_тах = 0,065 МН·м

так как для двутавра № 36 W_x = 743 см³ = 0,000743 м³ (см. прило­жение 3).

Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения.

В нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нор­мальных напряжений. Для этого в произвольном масштабе изобра­жаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от нее по разные стороны на уровне крайних волокон σ_max и σ_min. Соединяем эти точки пря­мой линией. Эпюра нормальных напряжений построена (рис. 20,6).

4. Построим эпюру поперечных сил. Для этого необходимо сна­чала определить опорные реакции. Для данной балки ввиду симмет­рии, нагрузки опорные реакции равны между собой

V_A = V_B = 42,25 кН.

Определяем поперечную силу.

Ход слева: Q_A = V_A = 42,25 кН.

= V_A – ql/ 2 = 42,25 - 13·2,5 = 9,75 кН;

= V_A – ql/ 2 - F = 9,75 - 19,5 = - 9,75 кН.

Ход справа: Qв = - Vв = - 42,25 кН.

По найденным значениям строим эпюру Q_x (рис. 20,г).

5. Определяем наибольшие касательные напряжения. Для этого с эпюры поперечных сил выбираем сечение, где Q_max = 42,25 кН =0,0423 МН.

Наибольшее касательное напряжение по высоте сечения возни­кает на уровне нейтральной оси и определяется по формуле Журавского:

_max = Q_maxS_x/(I_xb).

S_x - статический момент полусечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; b=d - толщина стенки двутавра; I_x; S_x, d берем из таблиц сортамента (приложение 3) для двутавра № 36

S_x = 423 см³ = 423·10^-6 м³;

I_x = 13 380 см⁴ = 13 380·10^-8 м⁴;

b = d = 7,5 мм = 0,0075 м. Подставив значения величин в формулу, получим

_шах = Па = 17,8 МПа.

Строим эпюру Касательных напряжений. От нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем _тах (рис. 20, д). Зная характер эпюры, даем ее полное изображение. Из условия прочности по касательным напряжениям _max =

получаем

_max = 17,8 МПа< γ_сR_ср = 1,1·130 = 143 МПа.

6. Большой запас прочности по касательным и по нормальным напряжениям:

σ_max

σ_max = 87,5 МПа < = 1,1·210 МПа можно объяснить тем, что сечение балки подбиралось, исходя из условия жесткости.

Алгоритм и пример решения задачи №3.

Многопролетные шарнирно-консольные балки достаточно широко применяются в строительной практике: в конструкциях автодорожных мостов, путепроводов, перекрытий бытовых пристроек и в различных сельскохозяйственных постройках. По сравнению с простой однопролетной балкой их преимущество состоит в наиболее рациональном распределении изгибающих моментов в сечениях и, следовательно, они требуют меньшего расхода материала. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов -это начальная стадия расчета многопролетных шарнирных балок. Далее по этим эпюрам производят подбор или проверку сечения уже известным из сопротивления материалов способом.

Условие задачи: Построить эпюры М_х и О_х для шарнирно-консольной многопролётной балки (рис.21а).

Шарнирные балки представляют собой цепочку из однопролётных консольных и простых балок, соединённых между собой шарнирами и образующих в целом статически определимую систему.

Рис. 21 Рис..22

Решение. Чтобы рассчитать такую многопролётную балку, её необходимо расчленить на простые элементы. Шарнирное устройство, соединяя между собой два элемента, позволяет одновременно этим элементам как бы смещаться относительно друг друга, поворачиваясь вокруг шарнира в ту или иную сторону. Воспользуемся этим как приемом, с помощью которого можно составить поэтажную схему взаимодействия элементов, разрезав балку по местам расположения шарниров (рис.216), причем очень важно при этом внимательно следить за тем, чтобы в результате поворота взаимных частей, членение на простые элементы были правильным. А именно: каждая простая балка должна иметь две опоры. Если опоры три - это уже двухпролётная неразрезная балка. Балка с одной шарнирной опорой не применяется в строительных сооружениях. Балка с жесткой заделкой - консоль, т.е. один из её концов должен быть обязательно свободным. Составив таким образом поэтажную схему взаимодействия балок, ещё раз просмотрите, что из себя представляет каждый элемент. Убедившись, что все правильно, можно считать, что шарнирная балка подготовлена к расчету. Остается проставить на поэтажной схеме порядок расчета элементов, пронумеровав их цифрами. При этом необходимо помнить, что начинать расчет всегда надо с элемента, который воспринимает нагрузки, приложенные непосредственно к нему, а затем элементы, которые помимо приложенных к нему нагрузок воспринимают силы давления от опирающихся соседних элементов. Эти силы давления численно равны значениям реакций опор элемента, рассмотренного перед этим, но направлены противоположно.

Далее отдельно для каждой простой балки (элемента) определяем опорные реакции и строим эпюры М_х и О_х точно так же как в задаче №3 контрольной работы №1. Для этого балку необходимо отдельно зарисовать, показать опорные реакции, а затем под схемой по результатам расчета построить эпюры М_х и 0_Х.