Задачі та вправи

І. Обчислити подані вирази при заданих значеннях U, A, B, C.

1) (AB)(A\B), (B\A)A, A(AB); A={1,2,3,4}, B={c,d}.

2) A(B\A), (AB)(BA); A={3,4,5}, B={5,6,7,8}.

3) (BC)\A, (AB)C, (C\B)A; A={1,2,3,4,5}, B={2,3,4}, C={1,3,5}.

4) (АВ)\С, (АВ)С, (А\В)(СА); А={a,b,c,d}, В={b,c,f},С={a,c,e,f}.

5) AB, AB, AB, A\B, B\A; A={,,,}, B={,:,,?}.

6) (АВ)(АВ), А(АВ), (АВ)\В; А={1,2,3}, В={5,6,7}.

7) AB, AB, A\B, B\A; A={1,2,3}, B={x: x=2y+z, y,zA}.

8) AA₁, A\A₁, AA₁, AA₁; А={x: x– додатне ціле число, кратне 10}, A₁={10,20,30,40,50}.

9) AB, AB, A\B, B\A; A={1,2,4}, B={x: x=2y-z, y,zA}.

10) Нехай A={a,b,c,d}. Побудувати такі підмножини B,C,D множини A, що BC=D, й знайти B\D, (CD)B, (C\B)D.

11) (A\B)C, (AC)(B\A), (AC)(C\B); U={1,2,3,4,5}, A={1,3,5}, B={2,3,4}, C={1,2,5}.

12) A, B, C, (ABC), (ABC); U={a,b,c,d,1,2,3,4}, A={a,b}, B={c,d}, C={1,2,3,4}.

13) AB, (BC)\A, (AC)B; U={a,b,c,d,e,f}, A={a,b,c}, B={c,d,f,e}, C={a,d,f}.

14) (AB)C, (AC)\B, (AC)(B\A); U={a,b,c,d}, A={a,b}, B={b,c}, C={a,c,d}.

15) (AB)\C, (AB)B, (C\B)(A\C); U={a,b,c,d,e,f}, A={b,c,d}, B={b,a,f,e}, C={c,d,e}.

16) (A\B)C, (AB)C, AC; U={1,2,3,4,5}, A={1,3,5}, B={2,4}, C={2,3}.

17) AB, AC, (BC)\A, A(B\C); U={a,b,c,d,e}, A={a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,c,e}.

18) A(BC), B\(AC), (AB)(AB); U={1,2,3,4,5}, A={1,3}, B={1,2,4},C={2,5}.

19) ((A\B)C), (AB)C, (A(BC)). U={1,2,3,4,5,6}, A={1,2,5}, B={2,4,5}, C={2,3,4,6}.

20) С\(BА), (AB)C, (AB)C; U={1,2,3,4,5,6,9}, A={1,3,4,5}, B={2,4,6}, C={2,5,9}.

ІІ. Нехай універсальною множиною є Z й нехай

А={х| хZ, х=2y для деякого додатного цілого числа y},

В={х| хZ, х=2y-1 для деякого додатного цілого числа y},

С={х| хZ, х10}.

Описати словами й задати неявно множини А', (АВ)', А\С', С\(АВ).

ІІІ. Розглянемо такі підмножини множини цілих додатних чисел Z⁺: A={x| xZ⁺, x=2y для деякого цілого числа y},

B={x| xZ⁺, x=2y+1 для деякого цілого числа y},

C={x| xZ⁺, x=3y для деякого цілого числа y}.

Описати словами множини АС, ВС, В\С.

ІV. Обчислити вирази (А – довільна множина):

А, А, А\, А\А, \А, {}, {}{}, {,{}}\, {,{}}\{}, {,{}}\{{}}.

V. За допомогою діаграм Венна з’ясувати, чи правильні твердження:

а) якщо А, В та С – такі підмножини множини U, що АВС' та АСВ, то АС=;

б) якщо А, В та С – такі підмножини множини U, що А(ВС)' та В(АС)', то В=.

VI. Обчислити наведені вирази при заданих умовах.

1) Нехай AB=. Що можна сказати про AB й A\B?

2) Нехай AB=. Що можна сказати про множини A\B та B\A?

3) Нехай AB. Що можна сказати про множини AB та B\A?

4) Нехай AB=. Що можна сказати про AB й AB?

5) Нехай AC, BA. Що можна сказати про B\C й C\(AB)?

6) Нехай AB=A. Що можна сказати про AB та B\A?

7) Нехай A\B=. Що можна сказати про, AB, AB, AB,(AB) й AB?

8) Нехай AB. Що можна сказати про AB, BA, (A\B)(AB)?

VIІ. Чи існують такі підмножини X,Y,Z множини A={a,b,c,d}, що виконуються наведені нижче умови? Відповіді обґрунтуйте.

1) (X\Y)\(Z\Y), 2) (XY)\(XZ)=,

3) (X\Z)(Y\Z), 4) (X\Y)Z=,

5) (XYZ)\(XYZ)=, 6) ХY=, а Х\(Х\Y),

7) (XY)\Z=, X, Y, Z, 8) XY=Z, XY=Z,

9) X\Y=Z, ZY=, 10) (XY)\Z=Z.

VIII. Чи існують такі множини A,B,C, що задовольняють задані сукупності умов? Відповіді обґрунтуйте.

1) ABC=U, A=BC й C=AB, 2) ABA й AB,

3) (CA)(AB)=, а A(BC), 4) AB й ACBC,

5) ABC, ACB, AC=, 6) АВ, ВС, АС,

7) A(BC), B  (AC) й B, 8) AB й (C\B)(C\A),

9) A\C=, B\C=, а (AB)\C, 10) AB=C та BC=A,

11) A(BC)=, a (AB)C, 12) А=В й АВ,

13) AB, AC=, (AB)\C=, 14) (A\B)\C=, a A\(B\C),

15) AB, BC=, AC, 16) АВ й АВ=,

17) ABC=U, A=BC й C=AB, 18) АВ, В≠С, АС,

19) AB=, AC, (AC)\B=, 20) АВ=, В\С=, АС,

21) AB=, A\C, (AC)B, 22) АВС, АВСВ.