Задачі та вправи

І. Описати словами множини:

1) {x| x=2y+1, yN}, 2) {x| x=2y-1, yN},

3) {x| 10<x<100, x=5y, yN}, 4) {x| x=2y, yN},

5) {x| x=y², yN, 1y10}, 6) {x| x=y², yN},

7) {(x,y,z)| x,y,zR, x²+y²+z²>1}, 8) {x| 10y+9, yN},

9) {x| x=2y-1,yN, 1y100}, 10) {x| x=2y+1, yN, 1y10},

11) {(x,y,z)| x,y,zR, x²+y²+z²=1}, 12) {x| 1x100, xN},

13) {x| x=3y або x=5z, y,zN}, 14) {x| x=100y+7, yN, y0},

15) {x| x=11y або x=7z, y,zN}, 16) {x| x=3y+1, yN, 1y35},

17) {(x,y)| axb, ayb, a,bR}, 18) {(x,y)| x²+y²>1, x,yR},

19) {x| x=100y, x<1000, yN}, 20) {x| x=y², yN, y3},

21) {(x,y,z)| x,y,zR, x²+y²+z²<1}, 22) {x| x=5^y, yN},

23) {x| xZ, x>5 або x<0}, 24) {x| xZ, x3k, kN},

25) {x| xN, x ділиться на 2 й x ділиться на 5}.

ІІ. Записати множину B у явній формі.

1) A={2,4,6}, B={x| x=2y+1, yA}.

2) A={1,2,3}, B={x| x=z³+1, zA}.

3) A={1,2,3,4}, B={x| x=2y+3z,y,zA}.

4) A={0,1,2}, B={x| x=y-z, y,zA}.

5) A={4,8,9,15,16}, B={x| x=y² + z-y, z,y,y²  A}.

6) A={2,3,4}, В={y| y=x²+z, x,zА}.

7) A={0,1,2}, B={x| x=y+2z, y,zA}.

8) A={0,2,3}, B={x| x=2(y-z), y,zA}.

9) A={0,1,4,5,9,10}, B={x| x=y²+3z+3, y²,zA}.

10) A={1,2,3,4}, B={x| x=2y+3z+1, y,zA}.

11) A={2,4,6}, B={x| x=3y-z+2, y,zA}.

12) A={1,2,3}, B={x| x=y²+z², y,zA}.

13) A={1,2,3}, B={x| x=2y+z-2, y,zA}.

14) A={1,4,7}, B={x| x=5y-z+2, y,zA}.

15) A={0,1,2,3}, B={x| x=2y+5z-1, y,zA}.

16) A={-1,1,-2,2,}, B={x| x=y²+5z+1, y,zA}.

17) A={1,3,5,7}, B={x| x=2y+3z, y,zA}.

18) A={-3,0,1,2}, B={x| x=y-z, y,zA}.

19) A={4,8,9,15,16}, B={x| x=y²+z+y, z,y,y²  A}.

20) А={2,3,5,7}, B={x| x=z²+y-4, z=-y+3, yA}.

Включення та рівність множин

Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АВ), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо хА, то хВ. Використовується також й позначення ВА, що означає «В вклю-чає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, ZQ, оскільки кожне ціле число є раціональним; RZ, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А={2,4,1} є підмножиною множини В={-1,0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2В, 4В, 1В. Якщо для множин А та В твердження АВ не є істинним, будемо писати АВ. Наприклад, QZ, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X={а,b,c}, Y={b,c,d}, то ХY, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, YХ). Якщо увести позначення: (х) – «для кожного х» (або «для довільного х»),  – «випливає» (або «слідує»),  – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: АВ  (х) хА  хВ.

Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується ХХ. Доведемо, що для будь-яких множин X,Y,Z XY, YZ  XZ. Для цього достатньо показати, що (х) хХ  хZ. При доведенні будемо вико-ристовувати те, що XY та YZ. Отже, нехай хХ. Оскільки XY, то хY, але YZ, а тому хZ. Таким чином, ми показали, що для довіль-ного х хХ  хZ. Коротко побудоване міркування можна записати так: хХ  хY  хZ.

Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х=Y), якщо XY та YХ, тобто Х=Y  ХY та YХ. Наприклад, множини А={3,7,2} та В={7,2,3} рівні, тому що АВ та ВА, оскільки для елементів множини А маємо: 3В, 7В, 2В, а для елементів множини В маємо: 7А, 2А, 3А. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто ХY або YХ), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х≠Y. Наприклад, якщо Х={a,b,c}, Y={d,f,a}, то Х≠Y, оскільки ХY (а також YХ); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки N{1,2,3} (хоча {1,2,3}N).

Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається ХY), якщо ХY, але Х≠Y, тобто ХY  ХY та Х≠Y. Наприклад, якщо А={a,b,c}, В={a,b,c,d}, то АВ, оскільки для елементів множини А маємо: аB, bB, cB, отже, АВ, але ВА, тому В≠А. Також ZQ, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому QZ), тобто Z≠Q, хоча ZQ.

Через  позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто (х) х. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що А для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки  не має елементів, то умова х  хА не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, ≠{}, але {}. Для множини A={a,b,c} маємо А, тому що серед елементів множини А немає елемента .